Intrigante equação exponencial

por **PeterHiggs** » Sex Mai 03, 2013 23:41

Determine todas as soluções reais da equação

$\frac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\frac{7}{6}$

Tentei resolver da seguinte forma:

$\frac{(2^x)^3 + (3^x)^3}{((2^x)^2)*(3^x)+((3^x)^2)*(2^x)}=\frac{7}{6}$

* Fazendo 2^x = y, e 3^x = z

$\frac{(y^3)+(z^3)}{(y^2)(z)+(y)(z^2)}=\frac{7}{6} \Rightarrow \frac{(y+z)((y^2)-yz+z)}{yz(y+z)}=\frac{7}{6}$

$6y^2-6yz+6z-7yz = 0 \Rightarrow 6y^2-13yx + 6z=0 \Rightarrow$

Resolvendo a equação do 2° grau em função de y, obtemos: y' = 9z, e y'' = 4z

Tentei resolver, usando esses valores, para resolver a equação exponencial e encontrei valores estranhos, sem sentido

* Por exemplo, no 1° caso, para y=9z >>> z = 0 (y = 0) e >>>> 3^x = 0, onde x real não existe.
* No 2° caso, para y = 4z >>>> obtenho uma equação que não possui resultado (sentença impossível).

Será que alguém poderia me ajudar, e me dar uma sugestão para que eu consiga resolver esse problema ?

por **DanielFerreira** » Dom Mai 05, 2013 13:54

$\\ \frac{8^x + 27^x}{12^x + 18^x} = \frac{7}{6} \\\\\\ \frac{(2^3)^x + (3^3)^x}{(2^2 \cdot 3)^x + (2 \cdot 3^2)^x} = \frac{7}{6} \\\\\\ \frac{2^{3x} + 3^{3x}}{2^{2x} \cdot 3^x + 2^x \cdot 3^{2x}} = \frac{7}{6} \\\\\\ \frac{y^3 + z^3}{y^2z + yz^2} = \frac{7}{6} \\\\\\ \frac{(y + z)(y^2 - yz + z^2)}{yz(y + z)} = \frac{7}{6} \\\\\\ \frac{\cancel{(y + z)}(y^2 - yz + z^2)}{yz\cancel{(y + z)}} = \frac{7}{6}$

$\\ 6(y^2 - yz + z^2) = 7yz \\ 6y^2 - 6yz + 6z^2 - 7yz = 0 \\ 6y^2 - 13zy + 6z^2 = 0 \\ \Delta = 169z^2 - 144z^2 \Rightarrow \Delta = 25z^2 \\\\ y = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta }}{2a} \Rightarrow y = \frac{13z \pm 5z}{12} \\\\ \begin{cases} y' = \frac{13z + 5z}{12} \Rightarrow y' = \frac{18z^{\div 6}}{12^{\div 6}} \Rightarrow \boxed{y' = \frac{3z}{2}} \\ y'' = \frac{13z - 5z}{12} \Rightarrow y'' = \frac{8z^{\div 4}}{12^{\div 4}} \Rightarrow \boxed{y'' = \frac{2z}{3}} \end{cases}$

Lembrando que fizemos $\begin{cases} 2^x = y \\ 3^x = z \end{cases}$ , então, encontremos o valor de

usando a raiz

;

Segue,

$\\ y' = \frac{3z}{2} \Rightarrow 2^x = \frac{3 \cdot 3^x}{2} \Rightarrow \frac{2^x}{3^x} = \frac{3}{2} \Rightarrow \left ( \frac{2}{3} \right )^x = \left ( \frac{2}{3} \right )^{- 1} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = - 1}}$

Encontremos agora o valor de

usando a raiz y''

;

Segue,

$y'' = \frac{2z}{3} \Rightarrow 2^x = \frac{2 \cdot 3^x}{3} \Rightarrow \frac{2^x}{3^x} = \frac{2}{3} \Rightarrow \left ( \frac{2}{3} \right )^x = \left ( \frac{2}{3} \right )^1 \Rightarrow \boxed{\boxed{x = 1}}$