me ajudda lol

por **giboia90** » Seg Abr 29, 2013 14:57

é uma pergunta em inglês so queria uma explicação do resultado?

the points where the function f(x)= [x] + |1 -x|, -1<=x<=3, where [.] denotes the greatest integer function, is not differentiable, are:

resolução;
$f(x)= \left[x \right]+\left|1 -x \right|$ ......., $-1\leq x\leq3$

................... $-1\leq x < 0$

1 - x

................... $0 \leq x < 1$

................... $1\leq x < 2$

1+x

................... $2\leq x < 3$

................... x = 3

the only doubtful points are x = -1, 0, 1, 2, and 3. It can be easily seen that f(x) is differentiable at x= -1 but not differentiable at x = 0, 1, 2, and 3.

por **e8group** » Seg Abr 29, 2013 15:57

Por definição ,

$floor(x) = max\{n\in\mathbb{Z} ; n \leq x\}$ .

Assim ,podemos definir :

$floor(x) = \begin{cases} -1 ; x \in[-1,0) \\ 0 ; x \in[0,1) \\ 1 ; x \in[1,2) \\ 2 ; x\in [2,3) \\ 3 ; x = 3\end{cases}$ .

Retirando o módulo via definição ,temos :

$f(x) = floor(x) + |1-x| = \begin{cases} -x ; x \in[-1,0) \\ 1-x ; x\in[0,1) \\ x ; x \in[1,2) \\ 1+x ; x\in [2,3) \\ 2+x = 5 ; x = 3 \end{cases}$ .

Para verificar a continuidade ,basta calcular os limites (laterais) de cada extremo de cada intervalo .Lembrando que uma função é contínua sse $lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ .Nos pontos em que a função é descontínua,pelo Lemma "Derivabilidade implica continuidade " podemos descartar a possibilidade da diferenciabilidade nestes pontos .Mas cuidado !! O recíproco deste Lemma não é verdadeiro .Nos pontos em que

é contínua devemos calular a derivada via definição .

Tente concluirf ...

por **giboia90** » Seg Abr 29, 2013 17:29

tem como fazer parte a parte de modo mais detalhado?

por **e8group** » Seg Abr 29, 2013 18:49

Só por curiosidade ,já tentou esboçar o gráfico da função ? Este processo já fornece ideias de onde a função é descontínua , por conseguinte ,ela não será diferenciável nestes pontos .Vamos estudar a continuidade da função com respeito aos pontos $\{-1,0,1,2,3\}$ .
Considere :
i)
$\lim_{x\to -1^+} f(x) = 1 = f(-1) \implies f$ é contínua em

.

ii)

$\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0 \neq \lim_{x\to 0^+} f(x) = 1 \implies \nexists \lim_{x\to 0} f(x) \implies f$ não é contínua em 0 .

OBS_1.: A função é descontínua também p/ x = 1,2,3

,o argumento é semelhante .Deixo como exercício p/ tentar concluir .

Obs_2: Como diferenciabilidade implica continuidade já podemos afirmar que

não é derivável em tex] \{-0,1,2,3\}[/tex]

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