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[LIMITES 2 variáveis] Provar que não existe o limite

[LIMITES 2 variáveis] Provar que não existe o limite

Mensagempor Sohrab » Qui Abr 25, 2013 00:01

Opa galera, beleza?
Sei que para provar que um certo limite de duas variáveis não existe, basta tomar o limite dessa função através de dois caminhos distintos, ou seja, de duas curvas, de forma que esses limites sejam diferentes. Prova-se assim, que não existe limite naquele ponto (xo,yo) para o qual tende o limite, isso é, xo,yo é um ponto de descontinuidade da superfície..

Eu resolvi vários exercícios sobre aqui, e todos eu conseguia resolver de forma trivial, tomando curvas como

g:(0,t)
g:(t,t)
g:(0,t²)
g:(t, at)

enfim, coisas 'fáceis' de ir testando..

Porém, como fazer para "descobrir uma curva" para usar nesse 'teste', quando ela precisa ser um pouco mais elaborada?

exemplo:
o professor resolveu este assim:

\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{x²y²}{x² - y²}

tome a curva c1(t) = (t,0)
\lim_{(t)->(0)} f(c1(t)) = 0(esse limite converge para zero)

tome agora a curva c2(t) = (\sqrt[2]{t²+t^4} , t)
\lim_{(t)->(0)} f(c1(t)) = +oo (esse limite diverge)

como conseguimos valores diferentes para a função quando x,y se aprovima de (0,0) por diferentes caminhos, o limite não existe.

Como ele chegou nessa curva c2? Qual motivação ele teve de testar justamente ela? Existe algum método prático para isso? Algum macete?
Valeu pessoal.
Sohrab
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}