Prove

por **chronoss** » Dom Abr 21, 2013 16:52

Sejam a, b ,c números reais positivos distintos dois a dois tais que a² + b² - ab = c² .

Prove que o produto ( a - c )( b - c ) é negativo

por **young_jedi** » Seg Abr 22, 2013 12:11

da equação nos tiramos que

b^2-c^2=ab-a^2

$b-c=\frac{a(b-a)}{(b+c)}$

mis tabme podemos ter que

a^2-c^2=ab-b^2

$a-c=\frac{b(a-b)}{a+c}$

então

$(a-c)(b-c)=\frac{b(a-b)a(b-a)}{(a+c)(b+c)}$

$(a-c)(b-c)=\frac{ab(a-b)(b-a)}{(a+c)(b+c)}$

como todos os numero são postivos, então o denominador (a+c)(b+c) tambem é positivo e o produto ab tabem é positivo

mas se b-a for positivo então a-b é negativo
e se b-a for negativo então a-b é positivo

ou seja uma das duas é negtiva, como os demais termos são positivos então o resultado é algo negativo

por **e8group** » Seg Abr 22, 2013 13:36

Pensei de outra forma também .

A prova é por contradição (não é única,há outras possibilidades) .

Vamos supor que o produto (a-c)(b-c)

é positivo ,isto é , (i) (a-c)(b-c) > 0

.

O item (i)

ocorrerá

(ii) $\iff \left(a-c > 0 \ \text{e} \ b-c > 0 \right ) \text{ou} (iii) \left(a-c < 0 \ \text{e} \ b-c < 0 \right )$

Mas ,foi dado que c^2 = a^2 + b^2 -ab

.Deixando

em evidência e somando-se -b^2

em ambos membros ,obtemos que -(b-c)(b+c) = a(a-b)

.Como

,decorre que (iv) $a-b> 0 \iff b-c < 0$ e $(v) a-b< 0 \iff b-c >0$ .Além disso ,pela suposição do produto ser positivo ,segue

$\begin{cases} a> c = \sqrt{a^2 +b^2 -ab} \\0<a< c = \sqrt{a^2 +b^2 -ab} \end{cases}$ .

Desenvolvendo ambas inequações ,obtemos que

$\begin{cases} a > c \iff a> b \\0<a< c \iff a < b \end{cases}$ .

Conclusão : O item (ii) contradiz (iv) ,da mesma forma , (iii) conttradiz (v) ,logo o produto (a-c)(b-c)

é negativo .

por **chronoss** » Seg Abr 22, 2013 14:23

Obrigado aos dois.

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