Equação do Segundo grau

por **Damaris Ribeiro** » Sex Abr 19, 2013 22:21

Alguém poderia me ajuda nessa questão :\

Determine

para que a equação do segundo grau (2m+1)x^2+2x+m+1=0

tenha raízes reais tais que 0<x1<x2<4

Gabatiro : -3/2<m<-1

por **e8group** » Sáb Abr 20, 2013 01:33

Vamos aplicar a fórmula resolvente p/ equação do segundo grau ,

$x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 -4(2m+1)(m+1)}}{2(2m+1)} = \frac{-1 \pm\sqrt{1 -(2m+1)(m+1)}}{2m+1}$ .

(a)
$\frac{-1 -\sqrt{1 -(2m+1)(m+1)}}{2m+1}$

(b)
$\frac{-1 +\sqrt{1 -(2m+1)(m+1)}}{2m+1}$ .

Os itens (a) e (b) são raízes da equação .

Como ambas soluções da equação são positivas ,por (a)

vemos que obrigatoriamente $2m+1 < 0 \iff m \in I_1 =(-\infty ,-1/2)$ (Por quê ?) .Assim ,como

então $-1 +\sqrt{1 -(2m+1)(m+1)} < 0$ .Desta forma, além de termos que impor que 1 -(2m+1)(m+1) > 0

(já que há duas soluções distintas p/ equação) teremos também que tomar 1 > 1 -(2m+1)(m+1)

.

Assim ,

$1 -(2m+1)(m+1) > 0 \iff 0 > m > -3/2 \iff m \in I_2 = (-3/2,0)$ (Por favor ,faça as contas)

e

$1 > 1 -(2m+1)(m+1) \iff m > -1/2 \ \text{ou} \ m < -1 \iff m \in I_3 = (-\infty,-1)\cup(-1/2,+\infty)$
(Por favor ,faça as contas) .

Concluímos que $m \in I_1 \cap I_2 \cap I_3 = (-3/2,-1)$ , ou seja ,para qualquer $-3/2 <m <-1 \implies 0 < x_1 < x_2 < 4$ .

por **e8group** » Sáb Abr 20, 2013 02:53

Outra ...
Alternativamente ,pela soma S = -b/a

e produto

das raízes em que a = 2m+1 , b = 2

e

.Pela restrição ,

0 < x_1 < x_2 < 4

obtemos que ,

x_1 + x_2 > 0

e

$x_1 \cdot x_2 > 0$

Assim ,por soma e produto das raízes ,

$x_1 + x_2= -2/(2m+1) > 0 \iff 2m+1 < 0 \iff m <-1/2$ .

e

$x_1 \cdot x_2 = (m+1)/(2m+ 1) > 0$ que devido a m +1/2< 0

implica

e portanto m < -1

.

Para finalizar ,uma vez que há duas soluções reais e distintas ,então o discriminante $b^2 -4ac= 4 - 4(2m+1)(m+1)> 0 \implies 0 > (2m+1)(m+1) - 1 = 2m^2 +3m = m(2m+3)$ .
Como m < - 1