QUESTÃO DE TOPOLOGIA

[marciosouza]

GOSTARIA DE ALGUMAS DICAS PARA AS SEGUINTES QUESTÕES!
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QUESTÃO 1) Considere sobre M=R-{-1,1} a métrica induzida pela usual de R. Mostre que a bola fechada B[0,1] é um subconjunto aberto do espaço M.

Resolução:

Denominando A, o subconjunto aberto. Devemos mostrar que a bola fechada B[0,1], que denominamos A, é um subconjunto aberto do espaço M. Isso implica em mostrar que int(A)?M, e que Fr(A)?M.

Vejamos:

1º) int(A)?M

Por definição int(A)=(0,1), logo, tomando um ponto p?A, logo










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Se x0 ? M então int{y?M / d(y,x_0)?1}={y?M / d(y,x_0) <1}

Verdadeiro!
(FALTA JUSTIFICAR)


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7) Seja (M,d) um espaço métrico e A?M um conjunto finito. Seja
B={x?M | d(x,y)?1,para algum y?A}
Mostre que B é fechado.



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Seja {x_n }_(n?N) uma sequência de números reais, limitada e tal que x_p?x_m.?p?m. Mostre que o conjunto formado pelos elementos da sequência {x_1,x_2,x_3,…} tem um ponto de acumulação.