Equações Exponciaias com o uso do artifício

por **Belle R** » Sex Abr 12, 2013 18:23

2^(x+2 )– 3 × 2^(x-1) =20

Pessoal, fiz de uma forma, mas quando fui substiuir no x, não deu o resultado esperado

4y- 3y/2 =20

8y-3y =20
y= 20/5
y=4
2^x=y
x=2

O que posso fazer?

por **e8group** » Sex Abr 12, 2013 19:18

A equação é está $2^{x+2 } - 3 \cdot 2^{x-1} =20$ ???

Se sim , veja :

$2^{x+2 } - 3 \cdot 2^{x-1} =20 \iff 4 \cdot 2^x - \frac{3}{2} 2^x = 20 \iff 2^x(4 - \frac{3}{2}) = 20 \iff 2^x\frac{5}{2} = 20 \iff 2^x = \frac{20}{\dfrac{5}{2}} \iff 2^x = \frac{40}{5} \iff 2^x = 8 \iff 2^x = 2^3$

E qual seria a resposta ?

Qualquer dúvida retorne .

por **Belle R** » Sáb Abr 13, 2013 16:27

É essa sim, então a resposta é x = 3 rsrs, obrigada
Mas, pode me explicar bem detalhadamente?

4? 2^x-3/(2 ) 2^x=20?? Me enrolei logo no início, rs

por **e8group** » Sáb Abr 13, 2013 20:30

Utilizei a seguinte propriedade : $(*) a^{n} \cdot a^{k} = a^{k+n}$ para todo a,m,n

real e

não simultaneamente nulo .(Isto por que esta regra não vale para 0^0

)

Assim por exemplo se a = 6 , k = 9, n= -3

teremos $a^{n} \cdot a^{k} = 6^{9} \cdot 6^{-3} = 6^{9-3} = 6^6$ .

Então ,como $2^{x-1} = 2^{-1} \cdot 2^{x}$ ;logo $3 \cdot 2^{x-1} = 3 \cdot 2^{-1} \cdot 2^{x}$ .

Observe atentamente a relação acima e a propriedade indicada por (*)

e responda :

Por quê a equação $2^{x+2} -3 \cdot 2^{x-1} = 20$ é equivalente a $4 \cdot 2^x - \frac{3}{2} \cdot 2^{x} = 20$ ???

por **Belle R** » Sex Abr 19, 2013 11:03

*-* Uau! Entendi!
Porque ficaria ${2}^{2} . {2}^{x} - 3 . {2}^{x} . {2}^{-1}= 20 4 . {2}^{x} - 3 . \frac{1}{2} . {2}^{x} =20$

$4. {2}^{x} - \frac{3}{2} . {2}^{x} = 20$

Obrigada!!

por **Belle R** » Sex Abr 19, 2013 12:07

Agora tropecei nesta daqui ${3}^{x-1} + {3}^{x+1} = 30$

O que eu fiz: $y - \frac{1}{3} + y = 30$
$\frac{3y-1+3y}{3} = 30$
$\frac{5y}{3} = 30$
y = 18

Só que, se ${3}^{x} = y$
Não há como y=18

E aí? Em que errei? =/

por **Belle R** » Sex Abr 19, 2013 13:17

Ah, acho que já vi o erro... seria $\frac{4y}{3}= 30$
Mas mesmo assim está dando errado..

por **e8group** » Sex Abr 19, 2013 13:42

Só uma observação ,sempre crie um novo tópico p/ uma nova dúvida ,ok ?Não sei porque mas não fui notificado via e-mail sobre as duas últimas postagens .Respondendo sua dúvida , você cometeu um erro sútil .Você considerou y =3^x

,certo ? Acompanhe então o desenvolvimento .Temos a equação ,

$3^{x-1} + 3^{x+1} = 30$ que devido a propriedade $a^{b+c} = a^{b} \cdot a^{c}$ a equação pode ser escrita como $\underbrace{3^{x}}_{y} \cdot 3^{-1} + \underbrace{3^{x}}_{y}\cdot 3^{1} = 30$ .(Dica: Tome a = 3

e

e

para aplicar a propriedade ).Além disso , $3^{-1} = \frac{1}{3}$ .Assim ,temos :

$\underbrace{3^{x}}_{y} \cdot 3^{-1} + \underbrace{3^{x}}_{y}\cdot 3^{1} = 30 \iff y \cdot 3^{-1} + y\cdot 3^{1} = 30 \iff y \cdot \frac{1}{3} + 3y = 30$ .Multiplicando ambos lados da equação por

para eliminarmos a fração 1/3 ,segue

$3 ( y \cdot \frac{1}{3} + 3y ) = 3 \cdot 30 \iff y +9y = 90 \iff 10y = 90 \iff y = 9$ .Desta forma você encontra

uma vez que 3^x = y