Progressão geometrica: PG

por **Erico gremio** » Qui Abr 11, 2013 18:51

Calcule o valor da soma das PG.
a) 1 + 2x + 3x² + 4x³ + ... com x < 1

b) 1 + 11 + 111 + 1111 + ...

Determine o valor da soma: S = 0,3+0,33+0,333+...
Quanto vale 3S?

por **e8group** » Qui Abr 11, 2013 21:17

O que você tentou ?

Na letra (a) podemos proceder da seguinte forma ,

$S_{\infty} =1 + 2x+ 3x^2 + ... = 1 + x([1 + 1] + [x +2x] + [3x^2+ x^2]+ \hdots)$

$= 1 + x(1 + x + x^2 +\hdots + [1 + 2x + 3x^2 + \hdots ])$

$= 1 +x(1 + x^2 + x^3 + \hdots + S_{\infty})$

$= 1 + xS_{\infty}^* + xS_{\infty} \implies S_{\infty} = \frac{1+ xS_{\infty}^{*}}{1-x} , x \neq 1$

Onde :

$S_{\infty}^* = 1 +x+ x^2 + x^3 + x^4 + \hdots = 1 + x(1+x +x^2 + x^3 + \hdots)$

$= 1 + x S_{\infty}^* \implies S_{\infty}^*= \frac{1}{1-x}$

Assim ,

$S_{\infty} = \frac{1+ xS_{\infty}^{*}}{1-x} = \frac{1+ x \cdot \dfrac{1}{1-x}}{1-x} = \frac{1}{(1-x)^2} , x\neq 1$

Na letra (b) , observe que :

11 = 10 + 1

(...)

e assim sucessivamente ,como seria esta soma ?

Progressão geometrica: PG

Progressão geometrica: PG

Progressão geometrica: PG

Re: Progressão geometrica: PG

Quem está online