Transformação em produto

por **Ananda** » Seg Mar 24, 2008 17:31

Boa tarde!

O exercício é o seguinte:

Simplificar: $\frac{sen\left(a+3b \right)+sen\left(3a+b \right)}{sen2a+sen2b}$

Resposta: 2cos (a+b)

Colocarei minha resolução em anexo, pois estava fazendo no computador para não ter que ficar apagando...

Tentei de vários modos, mas não consegui chegar a simplificação final.

Grata desde já!

por **Ananda** » Seg Mar 24, 2008 19:57

Acho que consegui resolvê-lo!

Tentei novamente fazê-lo no computador e consegui ver diferente.
Vou colocar em anexo também, tá?!

por **admin** » Ter Mar 25, 2008 14:43

Olá Ananda!

A partir daqui, você também pode terminar de uma forma um pouco mais simples, colocando 2 em evidência:

$\frac{sen(2a+2b)}{sen(a+b)} =$ $\frac{sen[2(a+b)]}{sen(a+b)} =$ $\frac{2\cancel{sen(a+b)}cos(a+b)}{\cancel{sen(a+b)}} =$ 2cos(a+b)

Acho importante comentar a substituição inicial utilizada que não é tão evidente e vem das chamadas fórmulas de Werner, vejamos.

Partindo destas relações:

$(1) \;\;\; cos(a+b) = cosa\cdot cosb - sena\cdot senb$
$(2) \;\;\; cos(a-b) = cosa\cdot cosb + sena\cdot senb$
$(3) \;\;\; sen(a+b) = sena\cdot cosb + senb\cdot cosa$
$(4) \;\;\; sen(a-b) = sena\cdot cosb - senb\cdot cosa$

Obtemos:
$\begin{matrix} (1)+(2): &cos(a+b) + cos(a-b) = 2cosa\cdot cosb\\ (1)-(2): &cos(a+b) - cos(a-b) = -2sena\cdot senb\\ (3)+(4): &sen(a+b) + sen(a-b) = 2sena\cdot cosb\\ (3)-(4): &sen(a+b) - sen(a-b) = 2senb\cdot cosa\\ \end{matrix}$

Fazendo:
$\left\{ \begin{matrix} a+b=p\\ a-b=q \end{matrix} \right.$

Temos que:
$a=\frac{p+q}{2}$ e $b=\frac{p-q}{2}$

E por fim, obtemos as fórmulas de transformação em produto:

$cosp+cosq = 2 \cdot cos\frac{p+q}{2} \cdot cos\frac{p-q}{2}$

$cosp-cosq = -2 \cdot sen\frac{p+q}{2} \cdot sen\frac{p-q}{2}$

$senp+senq = 2 \cdot sen\frac{p+q}{2} \cdot cos\frac{p-q}{2}$

$senp-senq = 2 \cdot sen\frac{p-q}{2} \cdot cos\frac{p+q}{2}$

Até mais.