Função, inequação modular.

por **Sugvato** » Qua Abr 10, 2013 10:56

Olá!, Bom dia a todos.

Bom, estou com algumas dúvidas sobre inequação modular. Me deparei com alguns problemas que eu não consegui resolver e outros que a minha resposta não "batia" com o gabarito.

Vou mostra-las:

1- |x^2-4|=|x-6|

;

2-

;

Essas duas últimas, por favor, sejam mais didáticos!

3- $|2x-3|+|2x-5|\geq6$ ;

4- (x^2-4)|x-6|>0

;

Nas duas ultimas tive dificuldade me saber como fazer os sinais, por exemplo na 4 eu resolvi assim:

$(x^2-4)|x-6|>0\Rightarrow(x+2)(x-2)|x-6|>0$

A partir dai eu fiz as duas possível equações, com o modulo positivo e igual a zero e com o modulo negativo.

$(x+2)(x-2)(x-6)>0 \cup(x+2)(x-2)(6-x)>0$

na minha visão funcionaria como duas equações de segundo grau tendo raizes 2,-2,6 (ambas) Porem agora fica o problema. Vou fazer a reta com a primeira equação e outra com a segunda.

______-____+_____-____+
$-\infty$ ___-2____2____6____ $+\infty$ onde o conjunto solução da primeira seria $S=]-2,2[\cup]6,+\infty[$ testamos e veremos que apenas os > que 6 funcionam na equação e assim $S=]6,+\infty[$ $S=]6,+\infty[$

e a segunda ficaria assim:

______+____-_____+____-
$-\infty$ ___-2____2____6____ $+\infty$ onde o conjunto solução seria $S=]-\infty,-2[\cup]2,6[$ testamos e veremos que apenas os S=]2,6[

funcionam.

Então como resposta final ficaria $S=]2,+\infty[$ , Estou errado????

Por favor! Me ajudem

por **Sugvato** » Qui Abr 11, 2013 19:28

Por favor, não sei se estou cometendo algum erro dando um UP.

Mas UP....

por **e8group** » Sex Abr 12, 2013 12:47

Na próxima vez post apenas uma dúvida por tópico ,ok ?

Com respeito aos exercícios (1) e (3) terá de considerar no máximo 4 casos . Para explicar o procedimento de solução para ambos exercícios ,vamos considera que |f(x)| + |g(x)| > k

.Onde ,

são funções e

uma cosntante . Temos então 4 casos a considerar :

Caso 1 :

$g(x) \geq 0$ e $f(x) \geq 0$ .

Caso 2 :

g(x) < 0

e

Caso 3 :

e

Caso 4 :

e

Suponha que A_1 , A_2 , B_1, B_2

são conjuntos de números tais que :

$\forall x \in A_1 \subset D_f , f(x) \geq 0$

$\forall x \in A_2 \subset D_f , f(x) < 0$

$\forall x \in B_1 \subset D_g , g(x) \geq 0$

$\forall x \in B_2 \subset D_g , g(x) < 0$

Assim ,por defenição de módulo ,podemos escrever |f(x)| + |g(x)| > k

como :

$f(x) + g(x) > k , \forall x \in A_1 \cap B_1$

$-f(x) - g(x) > k , \forall x \in A_2 \cap B_2$

$-f(x) + g(x) > k , \forall x \in A_2 \cap B_1$

$f(x) - g(x) > k , \forall x \in A_1 \cap B_2$ .

OBS.: Poderíamos também ter $|f(x)| + |g(x)| \geq k , |f(x)| + |g(x)| \leq k$ (neste caso obrigatoriamente $k \geq 0$ ) , $|f(x)| - |g(x)| \geq k , |f(x)| - |g(x)| \leq k$ .

Pergunta :

O que acontece se |f(x)| = |g(x)|

ou

em que

,

e

???

E se f(x) = 2x- 3 , g(x) =2x-5

e

,qual a solução da desigualdade $|f(x)| + |g(x)| \geq k$ ????

Se você conseguir resolver ambos exercícios conseguirá resolver o (2) também ,ele é semelhante . Já em relação ao exercício (4) ,note que $(x^2-4)|x-6|> 0 \iff x^2 - 4 > 0$ e $|x-6| \neq 0$ pois $\forall x \in \mathbb{R}\setminus\{6\} , |x-6|> 0$ .

Tente concluir

por **Sugvato** » Sex Abr 12, 2013 19:35

Primeiramente, muito obrigado pela ajuda!.

Não tinha "sacado" o as condições do exercício 4. Estava persistindo no meu erro e acabei me segando.

Vou resolver voltar a tentar resolver tomando os conceitos que você me passo! Muito obrigado!

Após qualquer dúvida volto a postar aqui mesmo!.

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