[Equação Exponencial] Ajuda

por **_bruno94** » Dom Abr 07, 2013 22:19

Qual o valor de x na equação ${0,25}^{1-x} + {0,5}^{x+2} - 5 \cdot(0,5)^1 = 28$ ?

Pessoal, esta é uma questão do meu trabalho e eu não estou conseguindo achar uma resposta pra ela. Todas minhas tentativas resultam em contas impossíveis para alguém do ensino médio fazer. Eu acho que há algum erro de digitação por parte do professor.
Façam, por favor, e vejam se concordam comigo.
Desde já, obrigado.

por **Russman** » Dom Abr 07, 2013 22:52

Coloque todos os valores para a base 2.

$0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1} = 2^{-2}$
$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Assim,

$(2^{-2})^{1-x}+(2^{-1})^{x+2} + 5.\frac{1}{2} = 28$
$2^{-2+2x}+2^{-x-2} = 28-\frac{5}{2}$
$2^{-2}(2^{x})^2+\frac{1}{2^x}2^{-2} = \frac{51}{2}$
$(2^{x})^2+\frac{1}{2^x} = 102$

Agora, tome 2^x = y

, de forma que

y^2 - 102y +1 = 0

Agora, resolva essa equação e isole os valores de

possíveis.

por **_bruno94** » Seg Abr 08, 2013 18:25

Ok, entendi.
Substituindo 2^x

por

vamos ter:
$y^2 + \frac {1} {y} - 102 = 0$
Certo?
Como, a partir disto, você chegou em y^2 - 102y + 1 = 0

?
Resolvendo esta equação, o delta não dá um quadrado perfeito. Assim não consigo resolver a equação exponencial. Eu esperava como resposta desta equação de 2º grau um número do tipo 2^n

(n inteiro).
Eu acho que esta equação está errada.
Obrigado.

por **Russman** » Seg Abr 08, 2013 21:20

Você tem razão. Me enganei no desenvolvimento da equação. O correto é

$y^2+\frac{1}{y} = 102 \Rightarrow y^3 - 102y +1 = 0$

e essa equação não tem raízes reais. ;/

Aliás, a equação original em x também não tem solução real.

por **armando** » Ter Abr 09, 2013 19:00

Oi _Bruno94 !

Eu creio que o Russman se enganou logo no início da resolução.

Qual o valor de x na equação $\;\;{0,25}^{1-x} + {0,5}^{x+2} - 5 \cdot(0,5)^1 = 28$ ?

Repare que você no enunciado digitou: $\;\;\;0,25^{1-x}+0,5^{x+2}-(menos) \; 5.(0,5)^1=28$

e o Russman após transformar os decimais em potências escreveu:

$(2^{-2})^{1-x}+(2^{-1})^{x+2} + (mais)\;5.\frac{1}{2} = 28$

Passando os $+\frac{5}{2}$ para juto dos

para a direita do sinal de igual, estes passam a: $-\frac{5}{2}$ o que dá: $28-\frac{5}{2}=\frac{51}{2}$

O correcto será : $... -\frac{5}{2}=28 \longrightarrow ...\;\; = 28+\frac{5}{2}\longrightarrow \;\; ...\;\;=\frac{61}{2}$

Eu resolvi a equação numa calculadora TI nspire CAS, e esta deu como resultado:

$x_1=-6,93074\; \; ou \;\;x_2=3,46483$

O que quer dizer que ela admite 2 raízes reais.

Creio que a sua dificuldade possa resultar dessa situação.

por **DanielFerreira** » Ter Abr 09, 2013 21:44

$\\ 0,25^{1 - x} + 0,5^{x + 2} - 5 \cdot 0,5^1 = 28 \\\\ \left( \frac{25}{100} \right)^{1 - x} + \left( \frac{5}{10} \right)^{x + 2} - 5 \cdot \frac{5}{10} = 28 \\\\\\ \left( \frac{1}{4} \right)^{1 - x} + \left( \frac{1}{2} \right)^{x + 2} - 5 \cdot \frac{1}{2} = 28 \\\\ (2^{- 2})^{1 - x} + (2^{- 1})^{x + 2} - \frac{5}{2} = 28 \\\\ 2 \cdot 2^{- 2 + 2x} + 2 \cdot 2^{- x - 2} - 5 = 28 \cdot 2 \\\\ 2^{2x - 1} + 2^{- x - 1} = 61 \\\\ \frac{2^{2x}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2^x} = 61 \\\\ \frac{k^2}{2} + \frac{1}{2k} = 61 \\\\ k^3 + 1 = 122k \\\\ k^3 - 122k + 1 = 0 \\\\(k - 11,044)(k + 11,049)(k - 0,008) = 0$

Bruno,
concordo! Provavelmente tenha algum erro na equação. Os números são...