[Função implícita]mera coincidência no resultado?

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[Função implícita]mera coincidência no resultado?

Mensagempor marcosmuscul » Qua Abr 03, 2013 20:30

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1 + {tan}^{2}\left( x+y \right) - {cos}^{2}\left( x+y \right) - \frac{3}{2} = 0
-\frac{1}{2} + cos\left(2\left(x+y \right) \right) = 0
\Leftrightarrow \left(2\left(x+y \right) \right) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow y = \frac{\pi}{6} - x

então a derivada dá -1 para \nabla x \in \Re

o estranho é que eu não usei o \frac{\pi}{4} em nenhum local.

O resultado que achei foi mera coincidência, não foi?
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Re: [Função implícita]mera coincidência no resultado?

Mensagempor Russman » Qua Abr 03, 2013 22:25

Toma x+y = z . Assim

sec^2(z) - cos^2(z) = 3/2
\frac{1}{cos^2(z)} - cos^2(z) = 3/2
1 - cos^4(z) - (3/2)cos^2(z) = 0

Fazendo cos^2(z) = r, temos 1- r^2 - (3/2)r = 0 de onde obtemos r = 1/2 e r=-2.
Assim, a solução real possível é

cos(z) = \sqrt{2}/2

e portanto , z = \frac{\pi }{4}+ 2n\pi.

Agora, como x + f(x) = z, temos

f(x) = - x + \frac{\pi }{4}+ 2n\pi

o que nos dá f'(x) = -1 para todo x.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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