[Função implícita]mera coincidência no resultado?

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[Função implícita]mera coincidência no resultado?

Mensagempor marcosmuscul » Qua Abr 03, 2013 20:30

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1 + {tan}^{2}\left( x+y \right) - {cos}^{2}\left( x+y \right) - \frac{3}{2} = 0
-\frac{1}{2} + cos\left(2\left(x+y \right) \right) = 0
\Leftrightarrow \left(2\left(x+y \right) \right) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow y = \frac{\pi}{6} - x

então a derivada dá -1 para \nabla x \in \Re

o estranho é que eu não usei o \frac{\pi}{4} em nenhum local.

O resultado que achei foi mera coincidência, não foi?
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Re: [Função implícita]mera coincidência no resultado?

Mensagempor Russman » Qua Abr 03, 2013 22:25

Toma x+y = z . Assim

sec^2(z) - cos^2(z) = 3/2
\frac{1}{cos^2(z)} - cos^2(z) = 3/2
1 - cos^4(z) - (3/2)cos^2(z) = 0

Fazendo cos^2(z) = r, temos 1- r^2 - (3/2)r = 0 de onde obtemos r = 1/2 e r=-2.
Assim, a solução real possível é

cos(z) = \sqrt{2}/2

e portanto , z = \frac{\pi }{4}+ 2n\pi.

Agora, como x + f(x) = z, temos

f(x) = - x + \frac{\pi }{4}+ 2n\pi

o que nos dá f'(x) = -1 para todo x.
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Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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