[Função Exponencial] Questão 25 da Bahiana de Medicina 2013

por **Bruno Hitner** » Ter Abr 02, 2013 00:47

Admitindo-se hipoteticamente que o percentual de funcionalidade do chip decresça em t dias de acordo com o modelo exponencial $f(t)=Ca^{-kt}-150$ , em que C, a e k são constantes reais, a>0 e a $\neq$ 1, e considerando-se que o circuito biodegradável é totalmente funcional no dia 0 e tem a metade de sua funcionalidade no dia 20, pode-se estimar corretamente que a queda de funcionalidade nos 40 primeiros dias é de: Resposta: 90%.

Sei que a vale $\frac{1}{2}$ , pois a variação é de metade.
C é igual a 100% ou 1, pois é a porcentagem inicial.
Sendo assim, tentei achar a constante k dessa forma: $f(t)=1.\frac{1}{2}^{-kt}- 150$
Para 20 dias temos metade do percentual de funcionamento, ou seja, 0,2. A fórmula ficou: $0,2=1.\frac{1}{2}^{-20k}- 150$
Só que não achei o k, pois não consegui desenvolver esse cálculo.
Podem me dar essa força?
Obrigado!

por **e8group** » Ter Abr 02, 2013 16:00

Pelo enunciado :

$\begin{cases} f(0) = C-150 \\ f(20 ) = C \cdot a^{-20k}- 150 = \dfrac{C-150}{2} \end{cases} \implies a^{-20k} = \dfrac{C+150}{2C}$

Assim , $f(40) = C\left(\dfrac{C+150}{2C} \right )^2 - 150 = \frac{C^2 - 300C + 150^2}{4C} = \frac{(C-150)^2}{4C}$

Tente concluir a parti daí ..

por **Bruno Hitner** » Ter Abr 02, 2013 21:16

Desculpe, mas não entendi o que aconteceu com o -150 na parte do f(40)

.
Não consegui terminar.
Obrigado!

por **e8group** » Ter Abr 02, 2013 21:37

Observe :

$f(40) = C \cdot a^{-40t} -150 = C\cdot (a^{-20t})^2 - 150$ pelo post acima ,

$f(40) = C \cdot \left(\frac{C + 150}{2C}\right)^2 - 150 = C \cdot \left(\frac{C^2 + 300C + 150^2 }{4C^2}\right) - 150 = \frac{C^2 + 300C + 150^2 }{4C} - 150 = \frac{C^2 + 300C + 150^2 - 150 \cdot 4C}{4C} = \frac{C^2 -300C + 150^2}{4C} = \frac{(C-150)^2}{4C}$ .

Certo ?

Leia atentamente o enunciado bem provável que conseguirá concluir ...

por **Bruno Hitner** » Dom Abr 07, 2013 01:09

Olá!

Fiz isso até agora: f(40)= $\frac{{\left(f(0) \right)}^{2}}{4C}$ = $\frac{1}{4C}$ = C= $\frac{1}{4}$

Só que ficou faltando achar o valor de K.

Tá certo o que fiz?

Obrigado!