Limite de duas variaveis

por **Tixa11** » Seg Abr 01, 2013 13:13

Como posso resolver este?

$\lim_{(x,y)->(0,0)}\frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$

Estou a ter problemas na parte dos iterados. Se me puderem ajudar agradecia

por **young_jedi** » Qua Abr 03, 2013 11:09

tomando pelo caminho y=0
temos que

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+0^2}}$

$\lim_{x\to0}x=0$

tomando agora pelo caminho x=y

$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+x^2}}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x\sqrt2}=0$

como temos que os dois limites são iguais a zero então podemos supor que o limite é igual a zero, então temos que provar a existencia do limite

$\sqrt{(x-0)^2+(x-0)^2}=\delta$

$\sqrt{x^2+y^2}=\delta$

temos que

$\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\sqrt{x^2+y^2}$

então

$\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\delta$

$\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\epsilon$

se

$\delta=\epsilon$

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