Limites trigonometricos

por **Erick** » Sáb Mar 30, 2013 20:55

Ola, estou com um problema no seguinte exercicio:
$\lim_{x->0}\frac{{(sen(x))}^{2}}{x}cos(\frac{1}{1-{5}^{x})}$ (obs:o cosseno é td a divisao) A primeira parte acredito q seja : $\lim_{x->0}\frac{{(sen(x))}^{2}}{x}=\lim_{x->0}\frac{sen(x)}{x}sen(x)=1*0$ , certo?
Mas n sei como resolver a parte do cosseno, msm sabendo q provavelmente o resultado final sera 0 (ja q o lim do sen=0).Gostaria q me mostrassem como faço para resolver esta parte
Grato desde ja

por **e8group** » Sáb Mar 30, 2013 21:51

Dica multiplique o numerador e denominador por

, feito isto teremos a seguinte expressão :

$\lim_{x\to 0} x\cdot \frac{sin^2(x)}{x^2} \cdot cos\left(\frac{1}{1-5^x} \right )$ .

Através da propriedade "limite do produto é o produto dos limites " poderá argumentar que $\lim_{x\to 0} sin(x)/x = 1$ (limite trigonométrico fundamental) e que apesar de $\lim_{x\to 0} cos\left(\frac{1}{1-5^x} \right )$ não existir (pois o mesmo está oscilando de -1 a 1 ) ,como a função cosseno é limitada , e um dos termos do produto do limite a ser calculado tende a zero quando $x\to 0$ então $\lim_{x\to 0} x\cdot \frac{sin^2(x)}{x^2} \cdot cos\left(\frac{1}{1-5^x} \right ) = 0$ .

Outra forma de mostrar que $x \cdot cos\left(\frac{1}{1-5^x} \right ) \to 0$ quando $x \to 0$ é através do teorema do confronto .Para isto estabeleceremos a seguinte desigualdade que é verdadeira para todo $x \neq 0$ ,

$1 \geq cos\left(\frac{1}{1-5^x} \right ) \geq -1$ . Multiplicando membro a membro por

,

$x \geq xcos\left(\frac{1}{1-5^x} \right ) \geq -x$ . De $\lim_{x\to 0} x = \lim_{x\to 0} - x = 0 \implies \lim_{x\to 0} x \cdot cos\left(\frac{1}{1-5^x} \right ) = 0$

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