Ajuda Matemática • Exibir tópico - [Teoria dos Números] Mostre que o produto é não negativo

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[Teoria dos Números] Mostre que o produto é não negativo

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[Teoria dos Números] Mostre que o produto é não negativo

por guisaulo » Sáb Mar 30, 2013 18:23

Mostre que o produto de dois dos numeros $65^{1000}-8^{2001}+3^{177},\; 79^{1212}-9^{2399}+2^{2001} \:\;e \:24^{4493}-5 ^{8192}+7^{1777}$ é não negativo. Sua prova e construtiva ou não construtiva? (Dica: Não compute os numeros!)

Não consegui resolver, alguém pode me ajudar?

guisaulo: Usuário Ativo; Mensagens: 13; Registrado em: Ter Nov 27, 2012 21:14; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: TI; Andamento: cursando

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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo $a=\sqrt{8}+ i$ em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja $\alpha$ o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo

. O triângulo é retângulo com catetos

e $\sqrt{8}$ , tal que $tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}$ . Seja $\theta$ o ângulo complementar. Então $tg \theta = \sqrt{8}$ . Como $\alpha + \theta = \frac{\pi}{2}$ , o ângulo que o afixo

formará com a horizontal será $\theta$ , mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi

, então $\frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}$ . Como módulo é um: $|b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}$ .

Logo, o afixo é $b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}$ .

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