Não sei aonde está o erro

por **Douglas16** » Qui Mar 28, 2013 13:35

Calcule o limite da seguinte função quando $x\rightarrow0$ .
$f(x)=\frac{tan\left(x \right)-sen\left(x \right)}{{x}^{n}}$ (onde

é uma constante positiva.)
(Considere 3 casos:

é menor ou igual a 2,

é igual a 3,

é maior ou igual a 4.)
Sei que para resolver tenho que eliminar o caso do denominador se aproximar de zero, mas como eliminar um fator em

quando o numerador está em função da tangente e o seno de x?
Tipo o resultado é um valor finito, pois o numerador e o denominador representam a razão $\frac{0}{0}$ , quando $x\rightarrow0$ e por isso mesmo o numerador e o denominador podem possuir fatores comuns, usando também o seguinte limite: $\lim_{x\rightarrow0} \frac{sen\left(x \right)}{x}=1$ .

por **e8group** » Qui Mar 28, 2013 15:00

Note que :
$tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \implies f(x) = \frac{tan(x) - sin(x)}{x^n} \iff f(x)= \frac{\dfrac{sin(x)}{cos(x)} - sin(x)}{x^n} \iff f(x)= \frac{sin(x)} {x^x}\left(\frac{1-cos(x)}{cos(x)} \right )$ .

E ainda ,se $cos(x) \neq -1$ , ou seja ,se $x \neq \pi + 2k \cdot \pi , \forall k\in \mathbb{Z}$ podemos multiplicar f(x)

por

obtendo uma outra função,

$g(x) = \frac{sin(x)}{x^n}\left( \frac{1-cos^2(x)}{cos(x)(cos(x)+1)}\right ) \iff g(x) = \frac{sin^3(x)}{x^n} \cdot \frac{1}{cos(x)(cos(x)+1)}$ .

Quando $x \to 0$ temos que $cos(x) \to 1$ e $(cos(x) + 1) \to 2$ ;logo $cos(x)(cos(x)+1) \to 2$ .

Assim , $\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} g(x) = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{sin^3(x)}{x^n}$ .

OBS.: $f \neq g$ , mas ambas funções possuem o mesmo limite quando $x \to 0$

Tente concluir .

Editado ...

por **Douglas16** » Sex Mar 29, 2013 11:10

Mas ainda continua com a indeterminação pois $\lim_{x\rightarrow0} \frac{{sin}^{3}}{{x}^{n}}=0$ e $\lim_{x\rightarrow0} {x}^{n}=0$ , ou seja $\frac{0}{0}$ , posso também usar o fato de que o limite de $\frac{sin}{x}$ quando x tende a zero ser igual a 1, para fatorar a expressão, mas resulta em:
$\lim_{x\rightarrow0} \frac{sin\left(x \right)}{x}\frac{sin\left(x \right)}{x}\frac{sin\left(x \right)}{x}\frac{1}{{x}^{n-3}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{{x}^{n-3}}$
Que no caso quando:
1. n é menor ou igual a 2, o limite é igual a zero.
2. n é igual a 3, o limite é igual a $\frac{1}{2}$ .
3. n é maior ou igual a 4, o limite é o igual a zero.
Seria isso a solução?

por **e8group** » Sex Mar 29, 2013 12:00

Em todos os casos exceto o 3 sua resposta está certa .Observe que no caso 3 , para todo $n \geq 4$ sempre n- 3 > 0

.Para concluir ,estude ambos limites laterais .

por **Douglas16** » Sex Mar 29, 2013 12:08

Aqui foi um descuido, o limite no caso 3 é o infinito positivo pelo lado esquerdo e infinito negativo pelo lado direito, ou seja não existe limite.

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