[L'Hospital] Problema

por **dravz** » Dom Mar 24, 2013 15:17

Se uma bola de metal de massa m for lançada na água e a força de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade, então a distância que a bola percorreu até o instante t é dada por:
$s(t)=m/c*ln cos h*\sqrt[2]{gc/mt}$ , em que c é uma constante positiva. Encontre $\lim_{C->0+}$ .

Primeiro da ?*0, ai eu inverti o c e ficou m*c no começo da formula, mas nao to conseguindo resolver. Alguem pode dar uma ajuda?

por **e8group** » Dom Mar 24, 2013 16:14

Pergunta: a função fornecida é (1) $s(t) = \frac{m}{c\cdot ln(cos(h))\cdot \sqrt{\dfrac{g\cdot c}{m\cdot t}}}$ ou (2) $s(t) = \frac{m}{c} \cdot ln(cos(h))\cdot\sqrt{\frac{g\cdot c}{m\cdot t}}$ .Outra pergunta : Não seria para calcular $\lim_{t\to0^+} s(t)$ ao invés de $\lim_{c\to0^+} s(t)$ .Por favor ,confirme estas informações

por **dravz** » Dom Mar 24, 2013 16:20

A função fornecida é a 2. E é pra calcular o limite de C->0+ mesmo.

por **e8group** » Dom Mar 24, 2013 18:43

Penso que há um erro sútil com o enunciado .

1°) Se

é constante positiva ,isto é ,

é fixo . Desta forma, não faz sentido $a \to 0^+$ podemos sim ter a > 0

pequeno o quanto queremos, neste caso , $a\in (0,\delta)$ .Em consequência, não podemos afirmar nada sobre o comportamento de s(t)

para qualquer a > 0

e sim à medida que

percorre $(0,+\infty)$ ,pois ,

não é uma função constante e nem limitada .

2°) Há um erro em relação a expressão digitada : $\lim_{c\to0^+}$

De qualquer forma ,vamos espera mais opiniões de outros usuários do ajuda matemática .

por **dravz** » Dom Mar 24, 2013 19:45

anexei o enunciado da questão pra ficar mais claro o que ta pedindo msm. nº 74!

por **e8group** » Seg Mar 25, 2013 00:24

Na verdade não é cos(h)

e sim cosseno hiperbólico .Neste contexto , $s(t) = \frac{m}{c} ln\left[cosh\left( \sqrt{\frac{g\cdot c}{m\cdot t}}\right ) \right ] = \frac{g}{u^2 \cdot t} \cdot ln\left[\frac{e^{u} + e^{-u}}{2} \right ]$ ,onde estamos considerando $u(t) = \sqrt{\frac{g\cdot c}{m\cdot t}}$ .

Observe que quando $c \to 0^+ , u(t) \to 0^+$ . Assim ,

$\lim_{c\to0^+} s(t) = \lim_{u\to0^+}\frac{g}{u^2 \cdot t} \cdot ln\left[\frac{e^{u} + e^{-u}}{2} \right ] = \lim_{u\to0^+} \frac{g}{t} \cdot \frac{ln\dfrac{e^u + e^{-u}}{2}}{u^2}$ .

Este limite apresenta forma indeterminada "0/0" ,por L'hospital ,derivando o numerador e denominador com relação a u(t)

e fazendo as devidas simplificações ,vamos obter o seguinte limite equivalente ,

$\lim_{u\to 0^+} \frac{g}{2t}\cdot \frac{\dfrac{e^u -e^{-u}}{e^u +e^{-u}}}{u}$ que por sua vez também apresenta indeterminação "0/0" ,portanto ,novamente por L'hospital ,segue que

$\lim_{u\to 0^+} \frac{g}{2t}\left[(e^u + e^{-u})^2 - (e^u - e^{-u})^2\right ]$ .

De $\lim_{u\to 0^+} e^u + e^{-u} = 1$ e $\lim_{u\to 0^+} e^u - e^{-u} = 0$ ,concluímos que $\lim_{c\to0^+} s(t) = \frac{g}{2t}$ .

Omitir algumas contas ,mas qualquer dúvida retorne !

por **dravz** » Seg Mar 25, 2013 04:19

$\frac{g}{{u}^{2}*t}$ é pq vc inverteu o C, ficando m*c e depois multiplicou pela derivada da raiz ali? obrigado desde já

por **e8group** » Seg Mar 25, 2013 11:40

Deixei $u(t) = \sqrt{\frac{g\cdot c}{m\cdot t}$ ,certo ?

Desta expressão ,elevando ambos membros ao quadrado ,temos :

$u^2(t) = \frac{g\cdot c}{m\cdot t}$ ,isolando

,obtemos

$c = \frac{u^2(t) \cdot m \cdot t}{g}$ .Substituindo-se

em

,ficamos com $\frac{m}{\dfrac{u^2(t) \cdot m \cdot t}{g}}$ ou $\frac{g}{u^2(t) \cdot t}$ .

OBS.: Recomendo que refaça todas etapas deste execício ,daí se surgir dúvidas mande de volta !