[Limite] Provar limite

por **Luciana Bittencourt** » Qui Mar 21, 2013 15:10

Prove que existe um $\delta > 0$ tal que

$1 - \delta < x < 1 + \delta \Rightarrow 2 - \frac{1}{3} < x^2 + x < 2 + \frac{1}{3}$

Como fazer? Até hoje não consegui aprender como provar limites usando a definição...

por **e8group** » Qui Mar 21, 2013 18:49

Resolução :

(a)

Dado um $\epsilon > 0$ ,existe um $\delta > 0$ suficiente pequeno que torne verdadeira a seguinte afirmação :

$1 - \delta <x < 1 +\delta \implies 2-\frac{1}{3} <x^2 + x < 2 +\frac{1}{3}$

(b)
Prova :

Observe que $1 - \delta <x < 1 +\delta \implies 2-\frac{1}{3} <x^2 + x < 2 +\frac{1}{3}$ é equivalente a $0<|x-1| < \delta \implies 0<|x^2 + x -2| < \frac{1}{3}$ .

Assim,

$|x^2 + x -2|= |x^2 + x -2| = |(x-1)(x+2)| = |x-1||x+2| \leq |x-1|(|x|+2) \leq |x-1|(|x-1| +3)$ .

Logo ,

$|x-1|(|x-1| +3) < \delta (\delta +3)$ .

De $\delta \to 0^+ \implies \delta(\delta +3) \to 0^+$ ,isto prova o resultado anunciado em (a) .

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