[progressão Aritmética] sequência

por **JKS** » Dom Mar 17, 2013 14:43

por favor , ajudem .. desde já agradeço.estou achando 60 :( GABARITO : 59

(puc-sp) Os Termos da sequência (10,8,11,9,12,10,13....) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n $\epsilon {N}^{*}$ , é o termo de ordem n dessa sequência, então a30+a55 é igual a :

por **DanielFerreira** » Dom Mar 17, 2013 18:25

Jks,
boa tarde!

Consideremos as sequências por partes:
- {10, 11, 12, 13,...}
- {8, 9, 10, 11,...}

No entanto, não devemos nos esquecer que a_1 = 10

,

,...

Para encontrar o termo $a_{30}$ devemos utilizar a 'segunda' sequência, pois ela fornece os termos pares, com isso:

$\\ \begin{cases} a_2 = a_1 = 8 \\ a_4 = a_2 = 9 \\ r = 1 \\ a_{30} = a_{15} \\ n = 15 \end{cases} \\\\ \boxed{a_n = a_1 + (n - 1)r} \\ a_{15} = 8 + 14 \\ \boxed{\boxed{a_{15} = 22}}$

Encontremos o termo $a_{55}$ através da 1ª sequência. Mas, há um detalhe!
55 não é múltiplo de dois, por isso, não podemos dividi-lo como feito anteriormente. Resta-nos fazer uso do termo anterior, isto é, do a_54

e depois somar uma unidade, uma vez que a razão é UM!!

Segue,

$\\ \begin{cases} a_1 = 10 \\ a_3 = a_2 = 11 \\ r = 1 \\ a_{54} = a_{27} \\ n = 27 \end{cases} \\\\ \boxed{a_n = a_1 + (n - 1)r} \\ a_{27} = 10 + 26 \\ \boxed{\boxed{a_{27} = 36}}$

Como foi dito, devemos somar 1 ao termo encontrado, pois:

$\\ a_{54} = a_{27} = 36 \\ a_{55} = a_{54} + r \\ a_{55} = 36 + 1 \\ \boxed{\boxed{a_{55} = 37}}$

Por fim,

$\\ a_{30} + a_{55} = \\\\ 22 + 37 \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\boxed{a_{30} + a_{55} = 59}}}}$

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