Exercício de PA

por **kaeser** » Qua Out 07, 2009 12:21

(ITA) Sejam

,

e

constantes reais com $a\neq0$ formando, nesta ordem, uma progressão aritmética e tais que a soma das raízes da equação ax^2+bx+c=0

é $-\sqrt{2}$ . Então uma relação válida entre

e

é:

$a) c=\frac{b}{\sqrt{2}} (\sqrt{2}-1)$

$b) c=b (2-\sqrt{2})$

$c) c=b (\sqrt{2}-1)$

$d) c=b\sqrt{2}$

$e) c=\frac{b}{2} (4-\sqrt{2})$
Minha tentativa:
PA(a,b,c) = PA(a_1,a_2,a_3)

usando

e

na equação: ax^2+bx+c=0

:

$\frac{-(a+r)\pm\sqrt{(a+r)^2-4a(a+2r)}}{2a}$
$x_1+x_2=-\sqrt{2} \\ \\ \\ \frac{-a-r+\sqrt{-3a^2+8r+2ar+r^2}}{2a}+\frac{-a-r-\sqrt{-3a^2+8r+2ar+r^2}}{2a}=-\sqrt{2} \\ \\* \frac{-2a-2r}{2a}=-\sqrt{2} \\ \frac{-a-r}{a}=-\sqrt{2} \\ \frac{a+r}{-a}=\sqrt{2} \\ r=-a\sqrt{2}-a$
E eu termino aqui. Não sei como relacionar

e

.

por **Molina** » Qua Out 07, 2009 14:46

Boa tarde.

Há um erro deste passo:

$\frac{-a-r}{a}=-\sqrt{2}$

para este:

$\frac{a+r}{-a}=\sqrt{2}$

Verifique que o correto é:

$\frac{a+r}{a}=\sqrt{2}$

$r=a\sqrt{2}-a$

Tente a partir daqui substituindo as variáveis de modo a ficar

e

.

Abraços!

por **kaeser** » Qui Out 08, 2009 18:48

Existe outra maneira de responder esse problema?
A resposta correta foi dada por um amigo português que gentilmente fez esse vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=H4kdxUJVWDY

$\\ \\ PA(a,b,c)\\ x_1+x_2=-\sqrt{2}\\ a\neq0\\ ax^2+bx+c=0\\\\ x_1+x_2=-\sqrt{2}\\\\ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\sqrt{2}\\\\ \frac{-2b}{2a}=-\sqrt{2}\\\\ \frac{-b}{a}=-\sqrt{2}\\\\ \frac{b}{a}=\sqrt{2}\\\\ b=\frac{a}{\sqrt{2}}\\\\ \\ \\ a=\frac{b}{\sqrt{2}}$

Agora vem a sacada de que c=b+(b-a)

por que para que

,

e

sejam uma PA progressiva a diferença de cada termo um pelo outro imediatamente anterior deve ser igual a razão, ou seja, b-a

deve ser a razão, ou seja,

é igual a

mais a razão que é (b-a)

. Nesse caso nós temos

que é $a=b/\sqrt{2}$

$\\ c=b+(b-a)\\\\ c=b+(b-\frac{b}{\sqrt{2}})\\\\ c=2b-\frac{b}{\sqrt{2}}\\\\ \\$

Agora temos que racionalizar a raiz para que ela fique no numerador. Os professores, em geral, preferem as raízes no numerador. E quando eles fazem concursos fazem alternativas equivalentes que mostrem a resposta final com as raízes no numerador, eu suponho.

Racionalizando:
$\\ c=2b-\frac{b\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\\\\ c=2b-b\sqrt{2}$

A alternativa correta é a resposta e): que aparece como $c=\frac{b}{2}(4-\sqrt{2})$ , que é o mesmo que a resposta final, basta multiplicar.

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