[Função Injetora, Sobrejetora] Dúvida exerícicios

por **Eduardo_GNR** » Qui Mar 14, 2013 21:41

Pessoal,

Sou novo no fórum e estou estudando funções injetoras, sobrejetoras, bijetoras, enfim, e tenho 3 exercícios aqui que eu não sei como fazer. Alguém ajuda?

Determine quais das seguintes funções de Z ? Z são injetoras:
1 f(x) = x ? 1 2 f(x) = x2 + 1 3 f(x) = dx/2e
2 Quais das funções anteriores são sobrejetoras? 3 Se f e f ? g são injetoras, então g é injetora também? Apresente uma prova para justi?car a sua resposta

Obrigado.

por **e8group** » Sex Mar 15, 2013 12:15

vou postar apenas a resolução (2) não entendi a questão (1) não estar claro ,por isso é importante utilizar LaTeX para redigir suas equações ,fórmulas e etc .

Resolução : (Caso geral )

Considere ,

$f : A \mapsto B$ e $g : A' \mapsto B'$ .

Hipótese : $f , f\circ g$ são injectivas .

Vamos considerar o caso em que $A \subset B'$ mas

não está contido em

.Sendo assim , $\exists T = A\cap B'$ e $f \circ g : T \mapsto B$ .

Suponhamos que

não é injectiva ,isto é , dados $x_1 , x_2 \in D_g$ distintos não implica $g(x_1) \neq g(x_2)$ ,em outras palavras ,dados $x_1 , x_2 \in D_g$ distintos ,podemos ter g(x_1) = g(x_2)

.Se

são simultaneamente elementos do conjunto

e

,isto é , $x_1 , x_2 \in T$ então

é injetiva .

Prova :

Como estamos supondo que

não é injectiva , podemos ter g(x_1) = g(x_2)

para $x_1 \neq x_2$ .Se g(x_1) = g(x_2)

então $f\circ g (x_1) = f\circ g (x_2)$ , por outro lado $f\circ g (x_1) \neq f\circ g (x_2)$ para $x_1 \neq x_2$ .

Observe que temos uma contradição , pois $f\circ g (x_1) = f\circ g (x_2) \iff x_1 = x_2$ ;logo

é injetiva .

Deixo para você o caso em que A = B'

ou seja $A \subset B'$ e $B' \subset A$ o argumento será semelhante .

Espero que ajude .

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