Sistema de Logaritmo

por **AnakinGabriel** » Sáb Mar 09, 2013 20:15

Então pessoal, encontrei essa questão no meu livro e não consegui resolver, eu 'travo' em certos pontos da resolução e não consigo mais avançar.

Resolva o sistema abaixo:
${log}_{10}x+{log}_{10}y={log}_{10}2$
${x}^{2}+{y}^{2}=5$

Obrigado.

por **e8group** » Sáb Mar 09, 2013 21:46

Equações ,

(i) log(x) +log(y) = log(2)

(ii)

Em (i) por propriedades de logaritmo podemos escrever que $log(x) +log(y)= log(x\cdot y) = log(2)$ ou ainda que $x \cdot y = 2$ (OK ?)

Em(ii) ,vale destacar que x^2 + y^2 = x^2 + y^2 + [2xy +(- 2xy)] = (x+y)^2 -2xy

x^2 + y^2 = x^2 + y^2 + [2xy +(- 2xy)] = (x+y)^2 -2xy

.

Como $x\cdot y = 2$ substituindo-se em (x+y)^2 -2xy

obtemos que $(x+y)^2 -2\cdot 2 = 5 \implies (x+y)^2 = 5 + 4 = 9$ .Extraindo a raiz quadrada em ambos membros $\sqrt{(x+y)^2} = \sqrt{9} = 3$ . Visto que a equação (i) estar definida se , e somente se , x,y