Dúvida - questão de indução

por **Danilo** » Seg Jul 30, 2012 23:56

Bom, estou tentando entender a resolução de um exercício, mas há algumas ''coisas'' que estão vagas pra mim.

Demonstrar que a soma dos n primeiros números naturais é igual a $\frac{n(n+1)}{2}$ .

Resolução

Indiquemos por ${S}_{n}$ a soma procurada ${S}_{n}$ = 1+2+3+...n

1º) Para n = 1 a hipótese é válida porque ${S}_{1}$ = 1 = $\frac{1(1+1)}{2}$

2º) Suponhamos que ${S}_{k}$ = 1+2+3+...+ k = $\frac{k(k+1)}{2}$

Demonstraremos que ${S}_{k+1}$ = 1+2+3+...+k+(k+1) = $\frac{(k+1)(k+1)}{2}$

De fato:

${S}_{k+1}$ = ${S}_{k}$ + $\left(k+1 \right)$ = $\frac{(k+1)}{2}$ + (k+1) = $\frac{(k+1) (k+1) }{2}$ .

Bom, sei que para provar por indução ele tem que provar que a hipótese é válida para n =1 e para n+1 $\geq$ 0 (me corrijam se eu estiver errado) . Esse exercício me deixou um pouco confuso. n igual a 1 quer dizer que o último termo da sequência é 1? Ou a soma de todos os termos é igual a 1? Ou que a sequência tem apenas 1 termo?

Esta parte não faz sentido para mim.

${S}_{k+1}$ = ${S}_{k}$ + $\left(k+1 \right)$ = $\frac{(k+1)}{2}$ + (k+1) = $\frac{(k+1) (k+1) }{2}$ .

$\frac{(k+1)}{2}$ + (k+1) = $\frac{(k+1) (k+1) }{2}$ . Essa igualdade é falsa ou eu que entendi errado? Grato desde já !

por **Russman** » Ter Jul 31, 2012 02:56

O processo de indução se baseia no principio de que todos os números naturais não obtidos a partir de sucessivas somas com a unidade, isto é, 1.
Veja que, de fato

1=1
2=(1)+1
3=2+1=(1+1) + 1
4 = 3+1 = (1+1+1) + 1
.
.
.

Portanto, se uma Lei matemática, ou uma função de variável discreta, é tomada como válida para algum elemento de um domínio Natural ela também o é para seu sucessor desde que o mesmo pertença a este domínio.
Em outras palavras, se S(n)

é uma função da variável discreta

tal que $S:(\mathbb{N}-E)\rightarrow Im\left \{ S \right \}$ , onde

é um possível conjunto exclusão pertinente, e verificamos que o natural

,de fato, satisfaz a função então é verdade que n'+1

também a satisfaz, se n'+1

pertence ao Domínio.

A sua função relaciona o número de termos de uma Progressão(n) com a soma de seus termos! Assim, como o conjunto Exclusão é vazio, pois a função se define para todo natural, você pode mostrar que ela é de fato verdadeira se provar que ela é válidada para algum

natural e para seu sucessor.

A soma dos

primeiros termos da sucessão {1,2,3,4,...,n}

é dada por $S(n)=\frac{n(n+1)}{2}$ . De fato, para n=3, por exemplo, ela é satisfeita.

S(3) = 1+2+3 = 6

$S(n=3)=\frac{3(3+1)}{2}=3.2=6$

Podemos mostrar então que ela é válidade para 4,5,6,...,3+n

. Logo, é interessante mostrar q ela é válida para n=1

e depois para 1+n

.

por **fraol** » Ter Jul 31, 2012 22:27

Boa noite,

Danilo e Russman, gostaria de voltar à questão em:

Danilo escreveu:Esta parte não faz sentido para mim.

${S}_{k+1}$ = ${S}_{k}$ + $\left(k+1 \right)$ = $\frac{(k+1)}{2}$ + (k+1) = $\frac{(k+1) (k+1) }{2}$ .

Aqui tem um lapso pois: $S_k = \frac{k \cdot (k+1)}{2}$ , a hipótese de indução, então

$S_{k+1} = \frac{ k \cdot (k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k \cdot (k+1)}{2} + \frac{2 \cdot (k+1)}{2} = \frac{ (k + 1) \cdot (k+2)}{2}$ que é a tese da indução.

.

por **Danilo** » Dom Ago 05, 2012 06:46

Muito obrigado !

por **Danilo** » Sáb Mar 09, 2013 11:19

Mas se eu fizer, por exemplo, para k = 1 terei que ${S}_{k+1} = {S}_{2}$ sendo que ${S}_{2}$ = 2 quando eu substituo em $\frac{\left(k+1 \right)\left(k+2 \right)}{2}$ eu não encontro ${S}_{2}$ = 2 e sim 3. Grato!