Sobre demonstração em conjuntos numéricos.

por **Douglas2013** » Seg Mar 04, 2013 20:11

Olá pessoal, estou com uma dúvida.

Enunciado: Dados dois números x e y reais e positivos, chama-se média aritmética de x com y o real a= $\frac{x+y}{2}$ e chama-se média geométrica o real g= $\sqrt[]{xy}$ . Mostre que a $\geq$ g para todos x , y $\in$ $\Re$ positivo.

Eu comecei a responder da seguinte maneira: considerei um numero K, tal que k=xy. Ai fiz :

$\frac{x+y}{2}$ $\geq$ $\sqrt[]{xy}$ ---------------------- $({\frac{x+y}{2}})^{2}$ $\geq$ $({\sqrt[]{xy}})^{2}$ ---------------- $\frac{{x}^{2}+ 2xy + {x}^{2}}{4} \geq xy$ e como k=xy ficou ${{x}^{2}+ 2k + {x}^{2}}{} \geq 4k$ . Porém eu fiquei estagnado nessa parte, não sei se é porque minha solução esta errada ou por eu estar esquecendo algo ou não sei mais o que. O fato é que fiquei tentando resolver esse problema por mais ou menos 105 minutos até chegar nessa solução. Porém não sei se ela esta certa. Por favor, ajudem -me.

por **e8group** » Seg Mar 04, 2013 20:42

Pense assim , claramente $(x-y)^2 = x^2 -2xy +y^2 \geq 0$ ;somando-se 4xy

na desigualdade ,
$x^2 -2xy +y^2 + 4xy \geq 4xy$ (que também é verdade) .

Como x^2 -2xy +y^2 + 4xy = x^2 + 2xy +y^2 = (x+y)^2

,resulta $x+y \geq \sqrt{4 xy}$ e portanto $(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$

por **Douglas2013** » Ter Mar 05, 2013 16:04

santhiago escreveu:Pense assim , claramente $(x-y)^2 = x^2 -2xy +y^2 \geq 0$ ;somando-se na desigualdade ,
$x^2 -2xy +y^2 + 4xy \geq 4xy$ (que também é verdade) .

Como ,resulta $x+y \geq \sqrt{4 xy}$ e portanto $(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$

Eu entendi o que tu fez, porém não entendi porque tu iniciiou a demonstração pelo quadrado da diferença. poderia me explicar?