Dúvida Uesb

por **jordyson rocha** » Sex Mar 01, 2013 21:02

Considere-se a função R*+ definida por F(x)= m + LOGn X ; m e R e n e R*+ n ? 1.
Sabendo-se que f(3)= 0 e f(3/10)= -1,pode-se afirmar que o valor de F-1(2) é :

01) 300
02) 90
03) 30
04) 9
05) 3

Cheguei até essa parte : f(x)= menos log de 3 na base 10 + log de 2 na base 10 .Sem saber como achar a inversa disso aí. vlw pela ajuda

por **Russman** » Sex Mar 01, 2013 21:47

As informações que temos são

$\left\{\begin{matrix} f(x) = m + \log_{n}x \\ f(3)=0\\ f(\frac{3}{10})=-1 \end{matrix}\right.$ .

Aplicando f(3) = 0

na função, obtemos

$f(3) = m+\log_{n}3 = 0\Rightarrow m=-\log_{n}3$

que é a 1° relação.

Aplicando $f(\frac{3}{10})=-1$ na função, obtemos

$f(\frac{3}{10}) = m+\log_{n}\frac{3}{10} = -1 \Rightarrow \log_{n}3 - \log_{n}10 = -1 - m$ ,

e, lembrando da 1° relação, então

$\log_{n}3 - \log_{n}10 = -1 - m\Rightarrow -m-\log_{n}10=-1-m\Rightarrow \log_{n}10=1 \Rightarrow n=10$ .

Portanto, $m=-\log_{10}3$ e , finalmente, $f(x) = -\log_{10}3 + \log_{10}x = \log_{10}\frac{x}{3}$ .

Para obter a função inversa basta inverter Domínio e Imagem. Tomando $f^{-1}(x) = g(x)$ , temos

$x = \log_{10}\frac{g(x)}{3}$

de onde g(x) = 3 . 10^x

.

Assim, acredito que o gabarito seja 300

. Certo? Alguma dúvida?

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