[distancia entre pontos e planos] DUVIDA

por **Erickvilela** » Qui Fev 14, 2013 21:38

Então, estava tentando resolver alguns exercicios e tive uma dificuldade específica em transformas a reta h para a forma vetorial, acho que depois disso eu conseguiria mais facilmente desenvolver a questão, então me ajudem por favor e se possível explanem a resolução.

obg

livro : Geometria Analítica - Um tratamento vetorial (Paulo Boulos)
problema: 20-22

Calcule a distância do ponto de interseção de r e s ao plano determinado por t e h, sendo

r: X = (1,3,4) + ?(1,2,3) s: X = (1,1,0) + ?(-1,0,1)
t: X = (0,1,0) + ?(0,6,1) h: x = y - 6z + 8 = 2x + 3

por **e8group** » Sex Fev 15, 2013 00:22

Boa noite .

Temos :

(i) $r\cap s = (0,1,1)$ (Por favor faça as contas ,se não conseguir post )

(ii) Reescreva a equação da reta h na forma paramétrica (ou vetorial)

Temos h : x = y - 6z + 8 = 2x - 3

Como $x = y - 6z + 8 = 2x - 3 \iff \begin{cases} x = y - 6z + 8 \\ 2x - 3 = y - 6z + 8 \end{cases}$

Então ,tomando-se z = t

p/ algum t real .Obtemos que , h : (3,-5,0) + t(0,6,1)

. (Neste caso forma vetorial )

Observe que os vetores diretores das retas h e t , são paralelos , aliás eles são iguais ,possuem o mesmo sentido ,mesmo comprimento e mesma direção .

Ora ,se o plano que procuramos é determinado pelas retas h e t ,significa que este plano é o lugar geométrico de todos pontos que satisfaz as equações da reta h e t (as retas estão contidas no plano) .

Sendo assim , $dist( r\cap s ,h) = dist( r\cap s ,t)$ será a distância do ponto $r\cap s$ ao plano em questão .

A principio parece que o caminho é este ,posso acabar de analisar amanhã ,estou sem tempo agora .

Se conseguir concluir post .

por **e8group** » Sex Fev 15, 2013 08:59

Continuando ...

Se tomarmos o vetor $\overrightarrow{P_hP_t}$ teremos que o vetor $\overrightarrow{P_tP_h} \wedge \vec{d}$ será ortogonal ao plano procurado que chamemos de $\pi$ , onde :

P_t

e

são pontos quaisquer das respectivas retas t e h .Podemos por exemplo tomar , P_t = (0,1,0)

e

.

Deste modo , apresento uma fórmula para calcular a distância de $A_0 = r\cap s = (0,1,1)$ ao plano $\pi$ ,tal fórmula é :

$dist(A_0 ,\pi ) = \frac{|\overrightarrow{A_0P_t}\cdot \overrightarrow{P_tP_h} \wedge \vec{d} |}{||\overrightarrow{P_tP_h} \wedge \vec{d}||}$

Fazendo as conta encontrará $dist(A_0 ,\pi ) = \frac{6}{\sqrt{41} } \hspace{2mm} u.c$

Obs.: $\vec{d}$ é o vetor diretor de t ,h .

Qualquer dúvida post .