[Integral]

por **mih123** » Seg Jan 28, 2013 11:18

$\int{3}^{x}cos(x)dx$

Nao sei por onde comecar! :/

por **Molina** » Seg Jan 28, 2013 14:15

Boa tarde, Mih.

mih123 escreveu: $\int{3}^{x}cos(x)dx$

Nao sei por onde comecar! :/

Integral por partes, não sai? :y:

por **e8group** » Seg Jan 28, 2013 22:12

Integral por partes é uma boa sugestão .Podemos associar por exemplo , $f(x) = 3^x = e^{x\cdot ln(3) }$ e D_x g(x) = cos(x)

.

Como $(f\cdot g)'(x) = f' \cdot g (x) + (g' \cdot f)(x)$

Então ,

$(f \cdot g' )(x) = (f\cdot g)'(x) - f' \cdot g (x)$

Portanto ,

$\int (f\cdot g')(x) = (f\cdot g)(x) - \int (f'\cdot g)(x)$

Sendo g'(x) = cos(x)

e $f(x) = 3^x = e^{x\cdot ln(3) }$ implica g(x) = sin(x)

e

.

substituindo fica ,

$\int 3^x cos(x) dx = 3^x sin(x) - ln(3) \int e^x sin(x) dx$

Mas ,

$\int e^x sin(x) dx = \int (f \cdot g'' ) (x) dx$ que pela regra da cadeia ,

$( f\cdot g')' (x) = f'\cdot g' + (f\cdot g'' )(x) \implies \int (f\cdot g'' )(x) = ( f\cdot g') (x) - \int f'\cdot g' (x) dx$ .

Prossegue-se que , $\int (f\cdot g'' )(x) = \int 3^x sin(x) dx = 3^x cos(x) - ln(3) \int 3^x cos(x) dx$

Fazendo $\int 3^x cos(x) dx = I$ ,

obtemos :

$\begin{cases} I = 3^x sin(x) - ln(3) \int e^x sin(x) dx \\ \\ \int 3^x sin(x) dx = 3^x cos(x) - ln(3) I \end{cases}$

Comparando as duas expressões ,teremos :

$I = 3^x sin(x) - ln(3)[3^xcos(x) - ln(3)I] \implies I(1 + ln^2(3)) = 3^x[sin(x) + ln(3)3^xcos(x)]$

Logo ,

$I = \frac{3^x[sin(x)+ln(3)cos(x)]}{1+ln^2(3)} +c$

É isto .( Espero que não errei )

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