[LOGARITMO] QUESTÃO UNEB 2013

por **brunadultra** » Qua Jan 23, 2013 18:17

A magnitude aparente de um astro de brilho B é definida a partir de uma referência Bo por meio
da fórmula , $M=loga\frac{B}{Bo}$ com a seguinte convenção: “a magnitude aumenta em 5 quando o brilho
é dividido por 100”.
Nessas condições, considerando-se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, pode-se afirmar que a magnitude
aparente da Lua, em que B = 1,2 × ${10}^{5}$ Bo, é igual a:

Resp: -12,7

por **e8group** » Qua Jan 23, 2013 19:27

Boa noite , esta informacão “a magnitude aumenta em 5 quando o brilho
é dividido por 100” ... nos permitira obtermos a seguinte relação :

Tomando log_a (B/100 B_0)

Prosseguindo com este raciocínio ,

$(M + 5 ) + 5 = log_a (B/100 \cdot 100 B_0) = log_a(B/B_0 100^{2} ) = log_a(B/10^{4}B_0)$

Repetindo este processo sucessivas vezes , obtém-se $M + 5\cdot n = log_a (B/10^{2n}B_0 )$ para $n = 1 ,2,3,4 ,\hdots$ .

Propriedades :

log_a (b c ) = log_a(b) + log_a (c )

(1)

$log_a (b^n) = n \cdot log_a (b)$ (2)

$log_a(b) = \frac{log_k(b)}{log_k (a) }$ (3)

cabe a você determinar as condições sobre a ,b , n, k

para existências das propriedades acima (fica como exercício )

Lembrando que , M + 5 = log_a (B/100B_0) = log_a (B/10 ^2 B_0 )

.

Usando a propriedade (1) e logo em seguida a (2) ,

M + 5 = log_a (B/ B_0 ) + log_a (1/10^2)

.

Ora , se log_a (B/ B_0 ) = M

, então :

$M + 5 = M + log_a (1/10^2) \implies 5 = log_a (1/100)$ .

Pela definição do logaritmo , $a^5 = 1/100 = 10^{-2}$ ou seja , $a = 10^{-2/5}$ .

Assim ,

$M = log_{10^{-2/5}} (B/B_0)$ que devido a propriedade (3) e (2) (por favor faça as contas ! ) , $M = \frac{-5}{2} log(B/B_0 )$

Sendo assim ,quando $B = 1,2\cdot 10^{4} B_0$ , teremos $M = \frac{-5}{2} log(1,2\cdot 10^{4}B_0/B_0 ) = \frac{-5}{2} log(1,2\cdot 10^{4})$

Basta utilizar as propriedades citadas acima , tente concluir .

por **brunadultra** » Qua Jan 23, 2013 20:47

Obrigada! =)

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