Desigualdade

por **Claudin** » Qui Jan 17, 2013 14:50

Gostaria de saber como resolver tal desigualdade utilizando Cauchy Shawars.

$(\sqrt[]{xa+yb+zc})^2\leq \sqrt[]{(x^2+y^2+x^2)}\sqrt[]{(a^2+b^2+c^2)}$

Obrigado

por **LuizAquino** » Sex Jan 18, 2013 10:44

Claudin escreveu:Gostaria de saber como resolver tal desigualdade utilizando Cauchy Shawars.

$(\sqrt[]{xa+yb+zc})^2\leq \sqrt[]{(x^2+y^2+x^2)}\sqrt[]{(a^2+b^2+c^2)}$

Obrigado

Eu presumo que você quis dizer z^2

no lugar do segundo x^2

que aparece no primeiro radical no segundo membro.

Dito isso, sabemos que a desigualdade de Cauchy-Schwarz é dada por:

$|\vec{u}\cdot \vec{v}| \leq \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|$

Se fizermos $\vec{u} = (x,\, y,\, z)$ e $\vec{v} = (a,\, b,\, c)$ , e lembrando da propriedade $\sqrt{n^2} = |n|$ , temos que:

$|(x,\, y,\, z)\cdot (a,\, b,\, c)| \leq \|(x,\, y,\, z)\|\|(a,\, b,\, c)\|$

$|xa + yb + zc| \leq \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

$\sqrt{\left(xa + yb + zc\right)^2} \leq \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Observação

Se você desejar ver uma demonstração da Desigualdade de Cauchy-Schwarz, então eu gostaria de indicar a videoaula "08. Geometria Analítica - Desigualdades: Triangular e Cauchy-Schwarz". Ela está disponível em:

http://www.lcmaquino.org/index.php?ci=video&lid=PLB7242F99B0310710&v=YFWjdqunhYU

por **Claudin** » Sex Jan 18, 2013 20:14

Muito Obrigado Luiz Aquino.

E gostei muito do vídeo também.

:y:

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