Limite - Funções trigonometricas

por **Jamyson** » Sáb Jan 12, 2013 19:09

$\lim_{x\rightarrow0} \frac{sen(x²+\frac{1}{x}) - sen \frac{1}{x}}{x}$

A resultado é zero, segundo o livro do Guidorizzi.
Já usei as fórmulas trigonométricas, mas não consigo encontra a resposta.
Se poder me ajudar, agradeço!

por **Jamyson** » Sáb Jan 12, 2013 19:10

não existe esse 'Â'. na equação

por **e8group** » Sáb Jan 12, 2013 20:53

Boa noite .

Veja que sin(x^2 + 1/x) = sin(x^2)cos(1/x) + sin(1/x)cos(x^2)

Então ,

$\frac{sin(x^2 + 1/x)-sin(1/x)}{x} = \frac{sin(x^2)cos(1/x) + sin(1/x)[cos(x^2)-1]}{x} = \frac{sin(x^2)cos(1/x)}{x} + \frac{sin(1/x)[cos(x^2)-1]}{x}$

Assim tomando o limite quando x se aproxima de zero e aplicando as propriedades (limites) ,

$\lim_{x\to0}\frac{sin(x^2 + 1/x)-sin(1/x)}{x} = \lim_{x\to0} \frac{sin(x^2)cos(1/x)}{x} + \lim_{x\to0} \frac{sin(1/x)[cos(x^2)-1]}{x} \\\\ \quad \lim_{x\to0} \frac{sin(x^2)}{x} \cdot \lim_{x\to0} cos(1/x) + \lim_{x\to0} \frac{sin(1/x)[cos(x^2)-1]}{x}$ .

Resolvendo os limites por partes ,

Multiplicando-se o numerador e o denominador por

,pelo limite fundamental $\lim_{y\to0} \frac{siny}{y} = 1$ obtemos ,

$\lim_{x\to0} \frac{sin(x^2)}{x} \cdot \lim_{x\to0} cos(1/x) = \lim_{x\to0} \frac{sin(x^2)}{x^2} \cdot \lim_{x\to0} cos(1/x)\cdot x = \lim_{x\to0} x \cdot \lim_{x\to0} cos(1/x) = 0$

Entretanto por outro lado ,

$\lim_{x\to0} \frac{sin(1/x)[cos(x^2)-1]}{x} = \lim_{x\to0} \frac{sin(1/x)}{x} \lim_{x\to0}[cos(x^2)-1] = \lim_{x\to0} \frac{sin(1/x)}{x} \cdot 0 = 0$

Portanto ,

$\lim_{x\to0}\frac{sin(x^2 + 1/x)-sin(1/x)}{x} = 0$ .

Por favor ,os invés de digitar(por exemplo)

Código: Selecionar todos: x²

cujo resultado será

digite

Código: Selecionar todos: x^2

,cujo resultado será x^2

.

Espero que ajude ;

por **Jamyson** » Sáb Jan 12, 2013 23:55

Santriago, eu só tenho a agradecer, hoje mais cedo tentei responder com a ajuda de amigos e a questão não saio.
Muito Obrigadoo

$\lim_{x\rightarrow0} \frac{sen(\frac{1}{x})}{x}$ Isto é 0 ou 1?