primitivaçao por substituiçao

por **rodrigonapoleao** » Qui Dez 27, 2012 21:04

como calculo a primitiva da seguinte funçao $f(x)=\frac{{x}^{3}}{\sqrt[]{2-{x}^{2}}}$ utilizando o metodo de substituiçao?

por **marinalcd** » Sex Dez 28, 2012 19:09

Bom, essa integral é bem simples de se resolver, embora não pareça:
Basta você utilizar um truque: "abrir" o $x^{3}$ .
Então:
$\int\frac{x^{3}}{\sqrt{2-x^{2}}}$ = $\int\frac{x.x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}$

$u = 2 - x^{2}$ e du = -2x

Segue que:
$x^{2} = 2 - u$ e $x = -\frac{du}{2}$

E assim, após essas substituições, basta calcular a integral.
Tente fazer e qualquer coisa pergunte de novo.

por **DanielFerreira** » Sex Dez 28, 2012 21:29

Boa! Marina.

por **rodrigonapoleao** » Sáb Dez 29, 2012 12:43

assim ficará $\int_{}^{}\frac{\frac{-du}{2}.(2-u)}{\sqrt[]{u}}.du$
$\frac{1}{2}\int_{}^{}du.\frac{1}{\sqrt[]{u}}(2u).du = \frac{1}{2}\int_{}^{}du.\frac{1}{\sqrt[]{u}}(2-u).du = \frac{1}{2}ln\left|\sqrt[]{u} \right|.\int_{}^{}du(2-u).du$ ?

por **e8group** » Dom Dez 30, 2012 13:32

Bom tarde , antes de tudo recomendo notar que :

$x^3 = -x (-x^2) = -x(-x^2 + (-2)+2)) = -x(2 - x^2 -2) = \\ \quad = \quad-x([\sqrt{2-x^2}]^2 - 2) = -x(\sqrt{2-x^2}\cdot \sqrt{2-x^2} - 2) = \\ \quad = \quad -[\sqrt{2-x^2}\cdot\sqrt{2-x^2}]\cdot x + 2x$ .

OBS1.: (-2) + 2 = 0

.Elemento neutro da soma .

Prosseguindo ,

$\int \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}dx = \int \left(\frac{-(\sqrt{2-x^2}\cdot\sqrt{2-x^2})\cdot x + 2x}{\sqrt{2-x^2}} \right ) dx =$

$= \int \left(- x\cdot \sqrt{2-x^2} + \frac{2x}{\sqrt{2-x^2}}\right)dx = \int \left(- \frac{2 x}{2}\cdot \sqrt{2-x^2} + \frac{2x}{\sqrt{2-x^2}}\right)dx$

OBS2.: $\frac{2}{2} = 2 \cdot 2^{-1} = 1$ .Elemento neutro da multiplicação

Da última passagem ,resume-se ao próximo passo .Lembre-se ,"integral da soma é a soma das integrais " ...

$- \frac{1}{2}\int \sqrt{2-x^2} \cdot (2x)dx + \int \frac{(2x)dx}{\sqrt{2-x^2}}$ .

Como disse a marinalcd , temos :

$2-x^2 = u \implies -2x dx = du$ .

Basta fazer as susbstituições .

Segue então que ,

$- \frac{1}{2}\int \sqrt{2-x^2} \cdot (2x)dx + \int \frac{(2x)dx}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{1}{2}\int \sqrt{2-x^2} \cdot (-2x)dx - \int \frac{(-2x)dx}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u}du - \int\frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int u^{1/2}du - \int u^{-1/2} du$ .