[determinantes]Prove ou dê um contra-exemplo .

por **e8group** » Dom Dez 23, 2012 11:19

4- Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ou falsa .Se verdadeira prove ;se falsa ,prove ou dê um contra-exemplo .

a) Seja

uma matriz $n \times n$ . Se $B = A A^tA^{-1}$ então det(A) = det(B)

.

Este exercício é simples ,mas estou em conflito com o mesmo . Na matemática $A^{-1}$ significa matriz inversa da matriz

. Mas ,devo considerar $A^{-1}$ como a matriz inversa da

? Ou devo considerar a hipótese de $A^{-1}$ não existir ? Geralmente quando estamos buscando a inversa de uma matriz , por exemplo dada a matriz $P = (p_{ij})_{n \times n}$ e a matriz $W = (w_{ij})_{n \times n}$ .Se PW = WP = I_n

,temos que $W = P^{-1}$ isto é ,

é a matriz inversa da

.

Afinal de contas , pelo enunciado única informação que sabemos é que $A = (a_{ij})_{ n \times n}$ e logo após ele explícita

em função de $A A^t A^{-1}$ . O que quero dizer é que, dada uma matriz $A , (n \times n)$ isto não significa que

é invertível ,pois nem todas matriz quadradas são invertíveis .

Diante deste pensamento , eu concluir que esta informação é falsa . Pois , $det(B) = det(A)det(A^t)det(A^{-1}) = \frac{det(A) }{det(A)} det(A)$ .

Se

é invertível , então $det(A) \neq 0$ logo det(B) = det(A)

. Mas isto contradiz ,meu pensamento .

Em resumo :

Estou em conflito em considerar $A^{-1}$ como a inversa da matriz

ou não . Pois no enunciado ele não diz que

é invertível .

Qual a opinião de vc's ?

Grato !

por **MarceloFantini** » Dom Dez 23, 2012 18:23

Sua hipótese é que $B = A \cdot A^t \cdot A^{-1}$ , isto automaticamente implica que

tem de ter inversa. Neste exercício não cabe questionar se a matriz original é invertível ou não: se ela for, vale a afirmação? A resposta é sim.

Pense com a seguinte analogia: seja

uma função dos reais nos reais. Se

for diferenciável, então

é contínua.