[Polinômios] Prove que ...

por **e8group** » Sex Dez 21, 2012 11:26

Suponha que $p(x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \hdots + a_{n-1} x + a_n$ seja um polinômio de grau

com coeficientes inteiros , isto é , $a_0 \neq 0 , a_1, a_2, \hdots , a_n$ são números inteiros .Seja $\alpha$ um número inteiro .Prove que se $\alpha$ for raiz de p(x)

,então $\alpha$ será divisor do termo independente a_n

.

Solução :

$p(\alpha) = 0 \implies a_n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k(\alpha)^{n-k} = 0 \implies a_n = - \sum_{k=0}^{n-1} a_k(\alpha)^{n-k}$

Como $\alpha \neq 0 , \exists \alpha^{-1}$ . Então ,

$\frac{a_n}{\alpha} = - \sum_{k=0}^{n-1} a_k(\alpha)^{n-(k+1)} = - (a_0 \alpha^{n-1} + a_1 \alpha^{n-2} + \hdots + a_{n-2}\alpha + a_{n-1} )$ .

Se a_0

é inteiro , $a_0 \alpha^{n-1}$ resulta um número inteiro , pois $\alpha$ é inteiro $\implies \alpha \cdot \alpha \cdot \hdots \cdot \alpha (\text{n-1 vezes } )$ é inteiro . Assim, $a_k \alpha ^{n-k}$ é inteiro para $k = 1,2,3,\hdots , n-1$ .Logo , $- \sum_{k=0}^{n-1} a_k(\alpha)^{n-(k+1)} = - (a_0 \alpha^{n-1} + a_1 \alpha^{n-2} + \hdots + a_{n-2}\alpha + a_{n-1} )$ é um número inteiro e portanto a_n

é divisível por $\alpha$ .

A solução estar certa ? Ou não ? Se não ,como poderia provar isto ?

Agradeço desde já !

por **e8group** » Sex Dez 21, 2012 12:07

Pessoal cometi um erro sutil em assumir $\alpha \neq 0$ .Pois $\alpha$ é inteiro . Vamos supor então que a solução acima vale somente para $\alpha$ inteiro não nulo . Este será o primeiro caso . E no segundo caso ,vamos assumir que $\alpha = 0$ .

Assim temos ,

caso 1 : ( $\alpha \neq 0$ )

Corresponde a minha primeira solução ...

caso 2( $\alpha = 0$ )

Temos que provar ,peço ajuda de vc's .

Agora estar coerente (eu acho ).

Se a resposta acima estiver correta , como ficaria o caso 2 ?

por **young_jedi** » Sex Dez 21, 2012 15:08

acho que seu pensamento esta certo sim

no entanto para $\alpha=0$ , acho que não se aplica

mesmo porque em um polinomio de grau qualquer, se 0 é raiz deste polinomio, então ele não possui termo independente, ou seja todos os termos tem uma potencia de x

por **e8group** » Sáb Dez 22, 2012 10:46

young_jedi ,muito obrigado pela ajuda .Como o enunciado diz que $\alpha$ é inteiro e

é inteiro .Vou utilizar o seu argumento ,se $\alpha = 0$ o termo independente é nulo .Logo ,neste caso não se aplica .Além disso , estaríamos efetuando a divisão "0/0" .

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