equacoes diferenciais

por **Thais Bomfim** » Qua Dez 12, 2012 01:58

Seja a equaçao diferencial: y² dx + (xy + 1) dy = 0. Considere y > 0.
a) Mostre que a equaçao diferencial não é exata.
b)Determine o fator integrante.
c) Resolva a equaçao diferencial dada, transformando-a em exata atraves do fator integrante.

por **young_jedi** » Qua Dez 12, 2012 11:39

partindo da equação

y^2dx+(xy+1)dy=0

podemos dividir tudo por dy

$y^2.\frac{dx}{dy}+xy+1=0$

agora dividindo tudo por y^2

$\frac{dx}{dy}+\frac{1}{y}.x+\frac{1}{y^2}=0$

$\frac{dx}{dy}+\frac{1}{y}.x=-\frac{1}{y^2}$

o fator integrante sera

$e^{\int \frac{1}{y}.dy}=e^{ln(y)}$

$e^{ln(y)}=y$

multiplicando a equação pelo fator integrante

$y.\frac{dx}{dy}+x=-\frac{1}{y}$

então a equação ficaria exata e poderia ser escrita como

$(y.x)'=-\frac{1}{y}$

lembrando que a derivada é em relação a y (e não a x como de costume)
agora é so aplicar integral com relação a y e resolver

por **Thais Bomfim** » Qua Dez 12, 2012 14:02

Muito obrigada pela ajuda!

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