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[função limitada] como reconhecer uma?

[função limitada] como reconhecer uma?

Mensagempor Fabio Wanderley » Dom Dez 09, 2012 20:07

Boa noite a todos,

Alguém pode mostrar uma forma prática para se afirmar se uma dada função é limitada ou não?

Por exemplo, a função \frac{x^2}{x^2+y^2} é limitada. Eu percebo isso intuitivamente. Mas gostaria de aprender uma forma de demonstrar formalmente.

Outro exemplo é a função \frac{x}{x^2+y^2}. Esta não é limitada (vi em um livro). Porém nem intuitivamente consigo notar isso. Assim, gostaria de aprender uma técnica ou demonstração formal a fim de apontar se uma dada função é limitada ou não.

Desde já agradeço!
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Re: [função limitada] como reconhecer uma?

Mensagempor e8group » Dom Dez 09, 2012 22:29

Para verificar se a função é limitada ,devemos observar se existe uma cosntante (número) pertencente ao domínio da função tal que o valor absoluto da sua imagem é menor ou igual a esta constante para quaisquer que seja os elementos pertencentes ao domínio da função . Ex.

A função f definida por sin(x) é limitada , pois \forall x\in D(f) \implies  | f(x) | \leq 1 .Neste caso Im(f) \in [-1
,1]   \forall x \in \mathbb{R} . Faça uma analogia com funções duas variáveis .


Vamos mostra que \frac{x^2}{x^2 +y^2} é uma função limitada .Primeiro note que ,
x^2  + y^2 \neq 0 .Isto contradiz apenas quando x = y = 0 . Portanto se x = 0 vamos ter y \neq 0 e vice-versa .

Para x = 0  , y \neq 0 temos \frac{x^2}{x^2 +y^2} = 0 e para y = 0 , x \neq 0 segue \frac{x^2}{x^2 +y^2} =  1 . Agora para x , y \neq 0 vamos ter que :


0 < \frac{x^2}{x^2 +y^2} < 1 . Note que, \forall (x,y) \in \mathbb{R} ^2 \implies  x^2 + y^2 > x^2 .Tome x = - 1 e y = - 3 é fácil ver que (-1)^2 + (-3)^2 > (-1)^2 e assim sucessivamente .

\frac{x}{x^2 + y^2} não podemos fazer a mesma afirmação .

Vale ressaltar que isto é apenas uma idéia intuitiva.Como estar a demonstração no livro ? Se tiver como , poderia postar aqui por favor ?
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Re: [função limitada] como reconhecer uma?

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 09, 2012 23:56

Dada uma função arbitrária não dá pra saber se ela é limitada ou não. Normalmente descobre-se isto tomando limites, calculando as derivadas, etc, mas não existe um método propriamente para detectar se a função é limitada ou não.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: [função limitada] como reconhecer uma?

Mensagempor Fabio Wanderley » Seg Dez 10, 2012 10:53

Muito obrigado pela ajuda, santhiago e MarceloFantini!

santhiago escreveu:Como estar a demonstração no livro ? Se tiver como , poderia postar aqui por favor ?


santhiago, o autor não faz a demonstração. Ele só coloca para as duas funções um "note que".

Saudações!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}