Integral

por **Claudin** » Sáb Dez 01, 2012 17:28

Expresse o limite como uma integral

$\lim_{k\rightarrow0}\sum_{i=1}^{k}\frac{i^4}{k^5}$

Não sei como resolver o exercicio

por **LuizAquino** » Ter Dez 11, 2012 16:37

Claudin escreveu:Expresse o limite como uma integral

$\lim_{k\rightarrow0}\sum_{i=1}^{k}\frac{i^4}{k^5}$

Não sei como resolver o exercicio

Para que esse limite seja representado como uma integral, eu presumo que na verdade ele seria:

$\lim_{k\to +\infty} \sum_{i=1}^{k}\frac{i^4}{k^5}$

Nesse caso, note que podemos reescrever esse limite como sendo:

$\lim_{k\to +\infty} \sum_{i=1}^{k}\left(\frac{i}{k}\right)^4\frac{1}{k}$

Considere agora a função f(x) = x^4

no intervalo [0, 1]. Dividindo esse intervalo em k partes iguais, teremos k subintervalos do tipo $\left[\frac{i-1}{k},\,\frac{i}{k}\right]$ , com i = 1, 2, 3, ..., k. Além disso, note que cada subintervalo terá o tamanho de 1/k. A figura abaixo ilustra esses subintervalos.

: figura.png (10.7 KiB) Exibido 1768 vezes

Agora perceba que a expressão $\left(\frac{i}{k}\right)^4\frac{1}{k}$ representa a área do retângulo que tem base no intervalo $\left[\frac{i-1}{k},\,\frac{i}{k}\right]$ e altura igual a $\left(\frac{i}{k}\right)^4$ (ou seja, podemos dizer que a altura é $f\left(\frac{i}{k}\right)$ ) .

No limite, quando $k\to+\infty$ , a soma das áreas de todos os retângulos irá coincidir com a área abaixo do gráfico de f e acima do eixo x no intervalo [0, 1]. Em outras palavras, temos que:

$\lim_{k\to +\infty} \sum_{i=1}^{k}\left(\frac{i}{k}\right)^4\frac{1}{k} = \int_0^1 x^4 \, dx$

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