[INTEGRAL INDEFINIDA] Substituição

por **fabriel** » Seg Nov 26, 2012 00:03

E ai pessola, então me deparei com a seguinte integral:
$\int_{}^{}\frac{dx}{x{\left(x+1 \right)}^{2}}$
fazendo u=x+1

então

Então ficaremos com:
$\int_{}^{}\frac{du}{\left(u-1 \right){\left(u \right)}^{2}}=\int_{}^{}\frac{du}{{u}^{3}-{u}^{2}}$
Entretanto esta correto essa substituição??
Devo usar outro método??
qual??
obrigado

por **e8group** » Seg Nov 26, 2012 07:58

Bom dia . Eu faria , $(x+1)^{-1} = u$ .Pois , $- du = (x+1)^{-2} dx = \frac{dx}{(x+1)^2}$ .

Daí ,

$\int \frac{dx}{x(x+1)^2} = -\int \frac{du}{\frac{1-u}{u}} = \int \frac{-u}{1-u} du = \int \frac{1-u}{1-u} du - \int \frac{1}{1-u} du = \int du - \int \frac{du}{1-u} = u + ln(1-u) + c = \frac{1}{x+1} + ln\left(\frac{-1}{x+1} +1\right ) +c = \frac{1}{x+1} + ln(x) - ln(x+1) +c$

por **fabriel** » Seg Nov 26, 2012 13:21

Obrigado, Eu fiz de um jeito diferente, usei a tecnica de integração por frações parciais, Entretanto não deu o mesmo resultado.
Observe:
$\frac{1}{\left(x \right){\left(x+1 \right)}^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{{\left(x+1 \right)}^{2}}$
Fazendo os cálculos, chegaremos nisso daqui:
$1=\left(A+B \right){x}^{3}+\left(3A+2B+C \right){x}^{2}+\left(3A+B+C \right)x+A$ (Esse sistema não vai ter solução...)
MAS A SUA RESPOSTA ESTA CERTA, EU DERIVEI E CHEGUEI NA INTEGRAL. VALEU!!

por **MarceloFantini** » Seg Nov 26, 2012 20:18

Quebrando em frações parciais temos

$\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2} = \frac{A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx}{x(x+1)^2}$ ,

assim

A(x^2 +2x +1) + B(x^2 +x) + Cx = (A+B)x^2 + (2A + B + C)x + A = 0x^2 + 0x + 1

.

Segue que

$\begin{cases} A+B = 0, \\ 2A + B + C =0, \\ A = 1. \end{cases}$

Logo B = -A = -1

e

.

Integrando, temos

$\int \frac{1}{x(x+1)^2} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx - \int \frac{1}{x+1} \, dx + \int {-1}{(x+1)^2} \, dx$

$= \ln |x| - \ln |x+1| + \frac{1}{x+1} + C$ .

Em outras palavras, você quebrou em frações parciais errado. Você errou ao somar as frações.