Teorema de Rolle

por **Mel92** » Sex Nov 23, 2012 23:57

Boa noite, estou com dificuldade no seguinte exercicio:

Verifique se a função satisfaz as três hipoteses do Teorema de Rolle sobre o intervalo dado. Então encontre todos os numeros c que satisfazem a conclusao do teorema.
$f(x)=sen 2\pi x$ no intervalo [-1,1]

Segundo a resolução do livro, a função é continua, ou seja, f(-1)=f(1), porém fazendo f(-1) não ficaria: $f(-1)= - sen 2\pi x$ ? e travei na tentativa de resolver o f '(c), que seria:

$f'(x)= cos 2\pi x$ portanto pra calcular o c : $f'(c)= cos 2\pi c$ --- $cos 2\pi c = 0$ , não sei como sair daí! A resposta do problema é : $\frac{1}{4} ; \frac{3}{4}$

obrigada.

por **e8group** » Sáb Nov 24, 2012 00:18

Pelo Teorema de Rolle , se

é contínua em [a,b]

e diferenciável em (a,b)

. Supondo que f(a) = f(b)

teremos um $c \in (a,b)$ tal que f'(c) = 0

.

Veja que

é definida em [-1,1]

e

. Deste modo temos que , existe um

tal que

.

$f'(x) = (sin(2\pi x) ) ' = sin'(2\pi x) \cdot (2\pi x)' = 2\pi cos(\2\pi x)$ . Daí ,

$f'(c) = 2\pi cos(2\pi c) = 0$ .Visto que , $cos(\theta) = 0$ se $\theta = \begin{cases} \frac{\pi}{2} + 2k\pi\\ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \end{cases} , k \in \mathbb{Z}$ . Temos que ,

$c = \begin{cases} \frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} \end{cases}$ . (Verifique ! )

Comente qualquer dúvida .

por **Mel92** » Sáb Nov 24, 2012 00:36

Não entendi a ultima linha, $\frac{\pi}{2} e \frac{3 \pi}{2} + 2 k \pi$
A resposta é essa mesmo, obrigada.

por **MarceloFantini** » Sáb Nov 24, 2012 00:55

Lembre-se que a função cosseno é periódica, e portanto terá valores iguais a cada ciclo. Estes ciclos são apenas voltas no sentido horário ou anti-horário, que pode ser escrito como $k 2 \pi$ , onde $k \in \mathbb{Z}$ é o número inteiro que representa o número de voltas.

Apesar da afirmação do Santhiago com relação a isso estar certa, ela não é válida neste exercício, pois a função está definida para [-1,1]