Polinômio Divisível

por **Cleyson007** » Seg Mai 18, 2009 14:50

Boa tarde!

Gostaria de saber se estou resolvendo corretamente o exercício abaixo. Desde já agradeço a atenção de todos.

--> Calcule os valores de a e b para que o polinômio $p(x)={x}^{3}+ax+b$ seja divisível por $g(x)=({x-1})^{2}$ .

$g(x)=({x-1})^{2}$ --> $g(x)={x}^{2}-2x+1$

Se p(x) é de Grau 3 e é divisível por g(x) que é de Grau 2, o quociente q(x) é de Grau 1 q(x)=ax+b

.

Aplicando q(x)*g(x)+r(x)=p(x)

estou encontrando a equação: $a{x}^{3}+{x}^{2}(b-2a)+x(-2b+a)+b={x}^{3}+0{x}^{2}+ax+b$

Da igualdade dos polinômios estou encontrando:

a=1

Obrigado pela ajuda :-O

Um abraço

por **Molina** » Ter Mai 19, 2009 04:52

Boa noite, Cleyson.

Desculpe a demora pela resposta. Só tive tempo agora...

É quase isso sua resposta.
Mas acho que você está se equivocando, ao achar que o mesmo

utilizado em x^3 + ax + b

é utilizado em ax+b

. Tanto que se você substituir os valores que você encontrou (a=1

e

a divisão não dá exata.

Fazendo a divisão de x^3+0x^2+ax+b

por

acho que é mais fácil não se confundir.
Só deixei o polinômio completo para facilitar na divisão.

Fazendo isso, você chegará em um momento em que:
(a-1)x +4x

terá que ser igual a 0 (para não haver resto).
Logo, $a-1+4=0 \Rightarrow a = -3$

E que b-2

também será igual a 0, pelo mesmo motivo anterior.
Logo $b-2 = 0 \Rightarrow b=2$

Depois disso jogue os valores obtidos em a e b no polinômio e divida pelo divisor.
Você irá chegar em um polinômio de primeiro grau (como você já havia previsto) e o resto será zero.

Qualquer dúvida, exponha aqui!

Abraços, :y:

por **Cleyson007** » Ter Mai 19, 2009 14:43

Boa tarde, Molina.

Realmente... fiz o teste substituindo os valores de

e

e o resto não é nulo.

Mas como identificar que o

utilizado em x^3 + ax + b

é diferente do utilizado em ax+b

.

Um abraço.

por **DanielFerreira** » Ter Set 22, 2009 13:02

g(x) = (x - 1)²
g(x) = x² - 2x + 1

divida p(x) por g(x) e terá como quociente (x + 2), e como resto (ax + 3x + b - 2).

se é divisível, o resto é zero!
ax + 3x + b - 2 = 0
(a + 3)x + (b - 2) = 0

a + 3 = 0
a = - 3

b - 2 = 0
b = 2

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