[CURVAS] CÁLC II - Trajetórias e Parametrização

por **inkz** » Ter Nov 20, 2012 01:12

pessoal, estou resolvendo provas antigas para me preparar para a p1 de cálculo 2, porém, não tenho as respostas. podem me ajudar, só conferindo se o raciocínio está correto?

2) UMA PARTICULA MOVE-SE NO SENTIDO HORÁRIO SOBRE UM CÍRCULO DE CENTRO EM (1,1) E RAIO 2, COM VELOCIDADE ESCALAR CONSTANTE IGUAL A 6. DETERMINE UMA FUNÇÃO CUJA TRAJETÓRIA DESCREVE O MOVIMENTO DA PARTÍCULA.

minha tentativa:
parametrização de um círculo com centro em (0,0) e raio 1:
w(t) = (cost, sent)

parametrização de um círculo com centro em (0,0) e raio 2:
w(t) = (2cost, 2sent)

parametrização de um círculo com centro em (1,1) e raio 2:
w(t) = (1+2cost, 1+2sent)

parametrização de um círculo com centro em (1,1) e raio 2 e que descreva um movimento horário:
w(t) = (1+2sent,1+2cost)

e para mim seria essa a resposta..

mas eu nem utilizei o dado que foi dado, de que a velocidade escalar é constante e igual a 6.
sei que a derivada da trajetória é a velocidade instantânea, e que a norma dessa derivada, || v || é a velocidade escalar. mas como eu deveria ter usado esse dado? tá tudo errado ou o que? me ajudem, por favor :-D

será que seria:

w(t) = (1+2sen(6t),1+2cos(6t))??

como vocês resolveriam ele? :p

por **MarceloFantini** » Ter Nov 20, 2012 01:28

Assuma que o parâmetro da curva será

, assim teremos $w(t) = (1 + 2 \sin (kt), 1 + 2 \cos (kt))$ .

Na sua parametrização ela começa em (1,3)

, ou seja, no topo da circunferência. Isto não faz tanta diferença mas é interessante perceber.

Derivando temos

$w'(t) = (2k \cos (kt), -2k \sin (kt) )$ .

Calculando o módulo e igualando a 6 segue

4k^2 = 6^2

,

assim

. Existe uma resposta negativa para

, mas isto significaria reverter a orientação novamente, o que não queremos, portanto descartei-a.

Finalmente, a parametrização pedida é

$w(t) = (1 + 2 \sin (3t), 1 + 2 \cos (3t))$ .

por **inkz** » Ter Nov 20, 2012 02:01

MarceloFantini escreveu:Assuma que o parâmetro da curva será , assim teremos $w(t) = (1 + 2 \sin (kt), 1 + 2 \cos (kt))$ .

Caro MarceloFantini, não entendi o porque do parâmetro ser kt, e não t..
Digo, entendi tudo que foi feito ali, mas o que te fez pensar em usar kt?

Obrigado, novamente!!

por **MarceloFantini** » Ter Nov 20, 2012 02:15

A idéia por trás de usar

ao invés de

foi que ao derivar poderíamos ter uma constante a mais multiplicando o seno e o cosseno de tal forma que a velocidade se alterasse.

De forma mais genérica, o que determina a velocidade de circunferência é o coeficiente do parâmetro.

Tomando $C(t) = (\cos (kt), \sin (kt))$ , temos que $C'(t) = (-k \sin (kt), k \cos (kt))$ e assim $|C'(t)| = \sqrt{k^2} = |k|$ .

Da maneira como você parametrizou está assumido implicitamente que a velocidade da circunferência, a menos do raio, é 1.

por **inkz** » Ter Nov 20, 2012 02:29

oh, entendi.. então eu deveria possuir o prévio conhecimento de que o que determina a velocidade da circunf é o coef. do parâmetro, certo? ou havia algum jeito de se chegar nisso, mesmo sem conhecer isso?

agradeço novamente, pelas respostas e pela ajuda!