Integral por substituição trigonométrica

por **Crist** » Seg Nov 12, 2012 20:46

Não estou conseguindo continuar esse exercício, estou aprendendo agora e tenho dúvidas se alguém puder me ajudar

$\int_{4}^{5}\sqrt[2]{x^2 - 16}/ x^2 \approx 0,09$

aqui desenvolvi até

$\int_{4}^{5}tg^2\theta / sec\theta d\theta$

agora naõ sei continuar

por **e8group** » Qui Nov 15, 2012 15:38

Vamos fazer $4/cos(\theta) = x$ de onde $dx = 4 \cdot cos^{-2} \theta \cdot sin(\theta) d\theta$ .

Substituindo na integral , temos que ,

$\int_4^5 \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{x^2} dx = \int_4^5 \frac{\sqrt{\frac{16}{cos^2(\theta)} - 16}}{\frac{16}{cos^2(\theta)}} 4 \cdot cos^{-2} \theta \cdot sin(\theta) d\theta = \int_4^5 \sqrt{sec^2 \theta - 1} \cdot \sin \theta d\theta$

Agora, através da relação fundamental trigonométrica $cos^2(\theta) + sin^2(\theta) = 1$ multiplicando ambos lados da igualdade por $1/cos^2( \theta)$ e logo após somando

, vamos obter que ,

$tan^2(\theta) = sec^2(\theta) - 1$ que nos leva ,

$\int_4^5 \sqrt{sec^2 \theta - 1} \cdot \sin \theta d\theta = \int_4^5 tan(\theta) sin(\theta) d\theta = \int_4^5 \frac{sin^2\theta}{cos\theta} d\theta = \int_4^5 \frac{1 - cos^2 \theta}{cos\theta} d\theta = \int_4^5 \frac{d\theta}{cos\theta} - \int_4^5 cos\theta d\theta$

Consegue concluir ?

Qualquer dúvida , post algo .

PS.: Qual substituição você fez , para chegar até onde parou ?

Integral por substituição trigonométrica

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