[Sequências] ajuda na resolução

por **Fabio Wanderley** » Sex Nov 09, 2012 12:23

Olá!

Segue um exercício:

"A sequência $\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{n+3}{n+1} \right)^n$ converge? Caso afirmativo, qual o limite?"

Intuitivamente imagino que a sequência diverge. Mas não consigo calcular o limite (minha dificuldade é que uma função está elevada a n). Alguém pode me dar uma ideia. Estou no início de Cálculo II.

Obrigado!

por **MarceloFantini** » Sex Nov 09, 2012 14:04

Note que $\frac{n+3}{n+1} = \frac{n+1 +2}{n+1} = 1 + \frac{2}{n+1}$ , daí

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+3}{n+1} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n+1 -1}$

$= \frac{\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n+1}}{\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)} = \frac{e^2}{1} = e^2$ .

por **Fabio Wanderley** » Sex Nov 09, 2012 15:27

Obrigado, Marcelo!

Eu desconhecia a forma de se pensar na sua primeira observação. Valeu demais!!!

Revisei também o assunto $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x} \right)^x$ = e

Concluindo, ao contrário do que pensei, a sequência dada converge.