Derivada Implícita

por **ariclenesmelo** » Ter Out 23, 2012 14:32

Um Navio deixa um Porto ao meio dia e desloca-se para o oeste com velocidade de 20 nos( um no e uma milha náutica por hora e 1 milha náutica eqüivale a aproximadamente 2km) Ao meio dia do dia seguinte um segundo navio deixa o mesmo Porto e viaja para noroeste a 15nos. Com que velocidade os navios se separam quando o segundo navio percorreu 90milhas náuticas.

Cheguei as seguintes conclusões x= 480 + 20t e y= 15t. Isso do ponto Inicial .. sei que quando o y percorrer 90 milhas o x estará há 600 milhas do Ponto Inicial.

por **young_jedi** » Ter Out 23, 2012 19:47

Temos que levar em consideraçãoa direção que cada um deles toma

se um sai para oeste e o outro para noroeste, e ambos partem em linha reta, o angulo entre a direção de ambos é 45º
portanto podemos construir um triangulo onde cada navio é um vertice e o porto é outro vertice, portanto um dos lados do triangulo é dado por x(t) e o outro é dado por y(t) essas duas equações voce ja determinou, voce quer determinar o outro lado do triangulo, que nos diz qual é a distancia entre os dois navios, recorrendo a lei dos cossenos podemos determinar por:

s^2=x^2+y^2-2.x.y.cos45^o

portanto

$s(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)-2.x(t).y(t).\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$s(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)-\sqrt{2}.x(t).y(t).}$

a velocidade com a qual os navios se seraram é justamente a taxa de varia da distancia entre eles portano

$v=\frac{ds(t)}{dt}$

aplicando na função de s(t) teremos

$\frac{ds(t)}{dt}=\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)-\sqrt{2}.x(t).y(t)}}.\left(2x(t).\frac{dx}{dt}+2.y(t).\frac{dy}{dt}-\sqrt{2}y(t).\frac{dx}{dt}-\sqrt{2}.x(t).\frac{dy}{dt}\right)$

substituindo pelas posições x(t) e y(t) que voce ja determinou e pelas velocidades $\frac{dx}{dt}$ e $\frac{dy}{dt}$ que voce tambem conhece se chega a velocidade de afastamento dos navios

por **ariclenesmelo** » Qui Out 25, 2012 21:54

$f(x)=\frac{2*600*20+2*90*15-\sqrt{2}*600*15-\sqrt{2}*90*20}{2*\sqrt{600^2+90^2-\sqrt{2}*600*90}}$
Cheguei nessa conta, sei que o resultado esta correto, porém estou com dificuldades de desenvolver.. Desculpe lhe incomodar e pq estou aprendendo sozinho, somente assistindo vídeo aulas.. desde já muito Obrigado.. O resultado da =10,57

por **young_jedi** » Qui Out 25, 2012 22:33

tranquilo
primeiro resolvendo as multiplicações

$\frac{ds}{dt}=\frac{24000+2700-9000\sqrt{2}-1800\sqrt{2}}{2.\sqrt{360000+8100-54000\sqrt{2}}}$

resolvendo as somas e subtrações possiveis

$\frac{ds}{dt}=\frac{26700-10800\sqrt{2}}{2.\sqrt{368100-54000\sqrt{2}}}$

substituino a raiz de dois por 1,414 aproximadamente

$\frac{ds}{dt}=\frac{26700-15271,2}{2.\sqrt{368100-76356}}$

resolvendo as subtrações

$\frac{ds}{dt}=\frac{11428,8}{2.\sqrt{291844}}$

extraindo a raiz

$\frac{ds}{dt}=\frac{11428,8}{2.540,23}$

resolvendo a divisão

$\frac{ds}{dt}=10,57$

espero que a primeira parte da derivada e da relação entre os pontos onde estão os navio e o porto tenha ficado claro.

Derivada Implícita

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