Determinantes - cálculo matriz nxn (aplicar propriedades)

por **emsbp** » Qua Out 10, 2012 09:25

Bom dia.
É pedido para calcular o determinante da seguinte matriz $\begin{pmatrix} a & a & a... a \\ 1 & a+1 & 1 ... 1 \\ 1 & 1 &a+1 ...1\\ ... ....\\ 1 & 1& 1 ... a+1 \end{pmatrix}$ .
Sei que é necessário aplicar alguma propriedade dos determinantes. No entanto, nas propriedades que pesquisei em http://www.igm.mat.br, não consegui encontrar uma que se aplique. O que estarei a fazer mal?
Obrigado!

por **young_jedi** » Qua Out 10, 2012 14:31

reescrevendo a matriz

$\left(\begin{array}{cccccc}a&0&0&0&\dots&0\\1&a&0&0&\dots&0\\1&0&a&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&0&\dots&a\end{array}\right). \left(\begin{array}{cccccc}1&1&1&1&\dots&1\\0&1&0&0&\dots&0\\0&0&1&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&0&\dots&1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cccccc}a&a&a&a&\dots&a\\1&a+1&1&1&\dots&1\\1&1&1+a&1&\dots&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&1&\dots&a+1\end{array}\right)$

utilizando a propriedade que diz

det(A.B)=det(A).det(B)

chega-se ao determinante da matriz
note tambem que as matrizez A e B nesse caso são matrizes triangulares, ou seja os elementos acima ou abaixo de sua diagonal são iguais a zero, e em uma matriz assim o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
com isso da pra determinar os dois determinantes e encontrar o determinante final pela regra do produto.