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[Inteiros: Divisibilidade]

[Inteiros: Divisibilidade]

Mensagempor Gustavo Gomes » Ter Out 09, 2012 23:27

Olá, pessoal.

Estou com dúvidas com relação a uma questão presente no exame de acesso ao Profmat 2013:

Seja N={12}^{2012}+{2012}^{12}. Qual o maior valor de 'n', tal que {2}^{n} é divisor de N?

A resposta correta é 24.

Estive pensando em reescrever a expressão, decompondo-a em fatores primos:
N={2}^{2024}.{3}^{2012}+{2}^{24}.{503}^{12}

E considerar o mdc das parcelas da soma, que de fato corresponde a {2}^{24}.

O meu raciocínio faz sentido?

Grato.
Gustavo Gomes
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Re: [Inteiros: Divisibilidade]

Mensagempor young_jedi » Ter Out 09, 2012 23:31

Seu racicocinio faz sentido, é isso ai mesmo
young_jedi
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.