Matemática Financeira - Determinar as Economias Iniciais?

por **Michael Brandao** » Qui Set 27, 2012 17:52

Questão: Janaina aplicou suas economias a juros simples durante 90 dias à taxa de 5% a.m . Se Janaina tivesse aplicado a juros compostos nas mesmas condições, teria recebido R$ 305,00 a mais de montante. Determine as economias iniciais de Janaina.

Não estou conseguindo desenvolver essa questão, tento achar o capital através das fórmulas de Juros (J = C . I ) mas não há como sem o capital, podem ajudar?

por **DanielFerreira** » Sex Set 28, 2012 19:32

Michael Brandao,
seja bem-vindo!

A fórmula correta é $\boxed{J = Cit}$ .

Michael Brandao escreveu:Questão: Janaina aplicou suas economias a juros simples durante 90 dias à taxa de 5% a.m . Se Janaina tivesse aplicado a juros compostos nas mesmas condições, teria recebido R$ 305,00 a mais de montante. Determine as economias iniciais de Janaina.

Vamos por partes.

Juros Simples:

Prazo (n): 90 dias
Taxa (i): 5% a.m
Capital (P):

Montante (S): S_1

Temos que

. Note que o prazo e a taxa não estão de acordo, vamos 'passar' o prazo p/ meses.

n = 90 dias
n = (30 + 30 + 30) dias
n = (1 + 1 + 1) mês
n = 3 meses

Agora sim...

$\\ S = P(1 + in) \\\\ S_1 = P \left (1 + \frac{5}{100} \cdot 3 \right ) \\\\ \boxed{S_1 = 1,15 \cdot P}$

Juros Compostos:

Prazo (n): 90 dias
Taxa (i): 5% a.m
Capital (P):

Montante (S): S_1 + 305

Temos que

. Note que o prazo e a taxa não estão de acordo, devemos fazer a conversão através de Taxas Equivalentes.

$\\ \boxed{(1 + i_m) = (1 + i_d)^{30}} \\\\ (1 + 0,05) = (1 + i_d)^{30} \\\\ (1 + i_d) = \sqrt[30]{1,05} \\\\ 1 + i_d = 1,0016 \\\\ i_d = 0,0016$

Com isso:

$\\ S_2 = P(1 + i)^n \\\\ S_2 = P (1 + 0,0016)^{90} \\\\ \boxed{S_2 = 1,154 \cdot P}$

Logo,

$\\ \boxed{S_2 = S_1 + 305} \\\\ 1,154 \cdot P = 1,15 \cdot P + 305 \\\\ 0,004 \cdot P = 305 \\\\ \boxed{\boxed{P = 76.250,00}}$

Espero ter ajudado.

Comente qualquer dúvida!

Daniel F.

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