Equação irracional

por **PeterHiggs** » Sex Set 28, 2012 12:33

Resolver a equação: $\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1} = \sqrt[6]{x^2-1}$

Resposta: S = $\left \{ \frac{\srqt{5}}{2}; \frac{-\sqrt{5}}{2} \right \}$

Sei que é uma questão simples, mas, ao tentar resolver, acabei não conseguindo mesmo chegar a um resultado. Sobravam sempre as raízes cúbicas, não consegui sair desse impasse. Alguém pode me ajudar nessa simples e interessante questão de equações irracionais ?

por **young_jedi** » Sex Set 28, 2012 16:19

$\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x+1}.\sqrt[6]{x-1}$

$\sqrt[6]{x+1}.\sqrt[6]{x+1}-\sqrt[6]{x-1}.\sqrt[6]{x-1}=\sqrt[6]{x+1}.\sqrt[6]{x-1}$

$\frac{\sqrt[6]{x+1}.\sqrt[6]{x+1}}{\sqrt[6]{x+1}.\sqrt[6]{x-1}}-\frac{\sqrt[6]{x-1}.\sqrt[6]{x-1}}{\sqrt[6]{x+1}.\sqrt[6]{x-1}}=1$

$\sqrt[6]{\frac{x+1}{x-1}}-\sqrt[6]{\frac{x-1}{x+1}}=1$

substituindo

$y=\sqrt[6]{\frac{x+1}{x-1}}$

$y-\frac{1}{y}=1$

y^2-y-1=0

$y=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$

substituindo

$\sqrt[6]{\frac{x+1}{x-1}}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\frac{x+1}{x-1}=\frac{1}{2^6}.(1+6.\sqrt{5}+15.5+20.5\sqrt{5}+15.25+6.25.\sqrt{5}+125)$

$\frac{x+1}{x-1}=\frac{1}{64}.(576+256.\sqrt{5})$

$\frac{x+1}{x-1}=(9+4\sqrt{5})$

$x+1=9x+x.4\sqrt{5}-9-4\sqrt{5}$

$x(8+4\sqrt{5})=10+4\sqrt{5}$

$x=\frac{5+2\sqrt{5}}{4+2\sqrt{5}}$

$x=\frac{20-10\sqrt{5}+8\sqrt{5}-20}{16-20}$

$x=\frac{\sqrt{5}}{2}$

fazendo para a outra raiz y encotra-se o outro valor de x

por **PeterHiggs** » Sex Set 28, 2012 22:14

Obrigado young_jedi !

Não era tão simples, não, hehe... !

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