Conjuntos numéricos

[Marcampucio]

Demonstre que não pertence ao conjunto dos números Racionais.

Desde já, agradeço.

[Elcioschin]

Hipótese:

Suponhamos que (V3 + V5) é RACIONAL.
Nesta caso (V3 + V5) = a/b, onde a, b são inteiros e primos entre sí (não tem divisor comum).

Elevando ao quadrado ----> (V3 + V5)² = (a/b)² ----> 3 + 2*V3*V5 = a²/b² -----> 8 + 2*V15 = a²/b² ---->

2*(4 + V15) = a²/b² ----> a² = 2*(4 + V15)*b²

Como o segundo membro tem o fator 2 ----> a² = par ----> a = par ----> a = 2*p

(2*p)² = 2*(4 + V15)*b² -----> 4*p² = 2*(4 + V15)*b² -----> b² = 2*[p²/(4 + V15)]

Como o segundo membro tem o fator 2 ----> b² = par ----> b = par

Concluímos, pois, que a e b são ambos pares.
Logo, concluímos também que a e b tem o divisor comum 2.

Acontece que esta conclusão CONTRARIA a hipótese inicial de que a e b NÃO tinham divisor comum.


Logo, a nosa hipótese inicial é ABSURDA e (V3 + V5) é IRRACIONAL.