Relação entre funções, sequências e regressões

por **Jhenrique** » Qui Set 20, 2012 00:14

Saudações, caros estudantes!

Ao tentar relacionar entre si, as funções, as progressões, as regressões e o cálculo, surgiram-me algumas dúvidas.

Primeiro, eu sei que as funções polinomiais, as progressões aritméticas e a interpolação de Lagrange, são relacionadas entre si. A parir daí, para mim, tudo é muito confuso... Observei que o GeoGebra calcula vários tipos de regressões e identifica uma função para elas, dada uma lista de pontos no plano, eu gostaria de saber fazer o mesmo manualmente. Outra dúvida, a PG se identifica com qual tipo de função, exponencial, de potencia...? Porque eu não consigo relacioná-la exatamente com nenhum tipo de regressão disponível no GeoGebra.

Usando sistema linear e sabendo que o zero do início da PA de 2ª ordem coincide com a origem do sistema xOy, poderiam me demonstrar como faço para identificar a equação da PA de 1ª ordem e da de 2ª?

: PA.PNG (7.29 KiB) Exibido 23269 vezes

Vlw,

José

por **MarceloFantini** » Qui Set 20, 2012 00:48

Polinômios e interpolação de Lagrange são relacionadas entre si, mas qual a relação com progressões aritméticas? Toda sequência é uma função $h: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ onde h(n) = a_n

. Progressões aritméticas e geométricas são apenas sequências com regras bem simples.

Também não sei o que quer dizer com P.A. de segunda ou primeira ordem. A primeira sequência que passou não é uma progressão aritmética, mas a segunda é. A terceira pode ser encarada como uma P.A. com razão igual a zero.

por **Jhenrique** » Qui Set 20, 2012 03:46

MarceloFantini escreveu:Polinômios e interpolação de Lagrange são relacionadas entre si, mas qual a relação com progressões aritméticas?[...]

Ora, um polinômio de grau um é uma reta no plano XY e ele pode ser descrito como uma PA. Um polinômio de grau dois é uma parábola no plano XY e parábola é resultado duma PA de 2ª ordem (ou duma integral de segunda ordem (não sei se integral tem ordens)) enfim... vim aqui para buscar esses esclarecimentos.

MarceloFantini escreveu:Também não sei o que quer dizer com P.A. de segunda ou primeira ordem. A primeira sequência que passou não é uma progressão aritmética, mas a segunda é. A terceira pode ser encarada como uma P.A. com razão igual a zero.

Sério? Eu não sei se estou descrevendo tudo usando os termos matemáticos corretos ou incorretos (certas vezes escrevo algo que suspeito estar errado para ver se serei corrijido ou não e aprender com isso...), mas PA de 2ª ordem é abordado nas video aulas do IMPA, no youtube... :|

por **MarceloFantini** » Qui Set 20, 2012 13:21

Ora, um polinômio de grau um é uma reta no plano XY e ele pode ser descrito como uma PA. Um polinômio de grau dois é uma parábola no plano XY e parábola é resultado duma PA de 2ª ordem (ou duma integral de segunda ordem (não sei se integral tem ordens))

Progressões são, por definição, discretas, enquanto que polinômios são funções contínuas. Além disso, cada ponto reta é descrito por um par de coordenadas, o que não acontece na P.A.. Uma parábola é uma parábola, nunca ouvi sobre este termo e sinceramente não faz qualquer sentido. Integrais não tem ordem.

Sério? Eu não sei se estou descrevendo tudo usando os termos matemáticos corretos ou incorretos (certas vezes escrevo algo que suspeito estar errado para ver se serei corrijido ou não e aprender com isso...), mas PA de 2ª ordem é abordado nas video aulas do IMPA, no youtube... :|

Poderia providenciar um link? Assim facilitaria a discussão.

por **Jhenrique** » Qui Set 20, 2012 22:54

MarceloFantini escreveu:Progressões são, por definição, discretas[...]

O que é isso?

MarceloFantini escreveu:
Sério? Eu não sei se estou descrevendo tudo usando os termos matemáticos corretos ou incorretos (certas vezes escrevo algo que suspeito estar errado para ver se serei corrijido ou não e aprender com isso...), mas PA de 2ª ordem é abordado nas video aulas do IMPA, no youtube... :|

Poderia providenciar um link? Assim facilitaria a discussão.

Claro!

Nesta página está a aula de progressões abordada pelo Wagner (essa cara é O MELHOR!)
http://video.impa.br/index.php?page=julho2012
é o vídeo: 16-07-12 - 10:45 - 12:00 - Professor Wagner (http://strato.impa.br/videos/2012-papme ... ner_01.flv)

Veja aí a relação entre PA e função que ele faz...

por **MarceloFantini** » Qui Set 20, 2012 23:15

Matemática discreta é em geral matemática que lida com números naturais, inteiros ou racionais. Basicamente, conjuntos que sejam enumeráveis (infinitos ou não).

Essa aula é muito grande, não poderei baixar. Não poderia citar o trecho exato?

por **Jhenrique** » Qui Set 20, 2012 23:23

Não, por que o trecho que ele trata do assunto é de 20 min, do 0' 30'' aos 0' 50''... :S

por **MarceloFantini** » Sex Set 21, 2012 01:30

Assisti a porção do vídeo que você disse, e ficou nítido que você não compreendeu o que ele quis dizer. Uma progressão aritmética é como ele define, uma sequência que tem uma lei de formação específica, basicamente seus termos crescem de forma que a diferença entre dois termos consecutivos seja constante.

Quando ele define as tais progressões aritméticas de "primeira" ou "segunda" ordem, na verdade o que ele quer dizer é sobre sequências cuja diferença entre termos é uma progressão aritmética, enquanto que no primeiro caso é sobre sequências que são realmente progressões aritméticas.

É importante notar que não há aspecto contínuo em sequências, de forma que o que ele faz é definir polinômios cujos valores nos inteiros coincidem com os valores da sequência.

por **Jhenrique** » Sex Set 21, 2012 19:40

MarceloFantini escreveu:Assisti a porção do vídeo que você disse [...]

Fico muito grato pela sua consideração!

---

Enta tá... vamos por partes... Uma função polinomial é diferente duma função exponencial e de potêncial ou de qualquer outra gênero, certo? Entendo assim porque dado dois pontos no plano XY do GeoGebra, a equação da regressão bivariada polinomial, exponencial e de potência que ele calcula, são diferentes entre si. Portanto, deve existir diferentes fórmulas para determinar essas diferentes equações, e a interpolação de Lagrange é uma delas, certo?

por **MarceloFantini** » Sex Set 21, 2012 23:44

Enta tá... vamos por partes... Uma função polinomial é diferente duma função exponencial e de potêncial ou de qualquer outra gênero, certo? Entendo assim porque dado dois pontos no plano XY do GeoGebra, a equação da regressão bivariada polinomial, exponencial e de potência que ele calcula, são diferentes entre si. Portanto, deve existir diferentes fórmulas para determinar essas diferentes equações, e a interpolação de Lagrange é uma delas, certo?

Certo. Não sei o que é essa regressão bivariada polinomial, mas os polinômios de Lagrange são os polinômios de menor grau em que as funções coincidem em cada ponto especificado.

por **Jhenrique** » Sáb Set 22, 2012 01:05

MarceloFantini escreveu:
Enta tá... vamos por partes... Uma função polinomial é diferente duma função exponencial e de potêncial ou de qualquer outra gênero, certo? Entendo assim porque dado dois pontos no plano XY do GeoGebra, a equação da regressão bivariada polinomial, exponencial e de potência que ele calcula, são diferentes entre si. Portanto, deve existir diferentes fórmulas para determinar essas diferentes equações, e a interpolação de Lagrange é uma delas, certo?

Certo. Não sei o que é essa regressão bivariada polinomial, mas os polinômios de Lagrange são os polinômios de menor grau em que as funções coincidem em cada ponto especificado.

Estou tentando me referir a isto aqui (por gentileza, confira as imagens abaixo)

Note que o programa GeoGebra é capaz de descobrir vários gêneros de funções que passam (ou que pelo menos se aproxima) dos pontos dados no plano.

"Ora, mas isso não é problema para mim, porque isso eu também sei fazer" - imaginava eu enquanto pensava na interpolação de Lagrange. Até que certa vez a interpolação de Lagrange me deixou na mão, pois a função que eu buscava não era uma polinomial e sim uma de potência. Foi daí que eu notei que eu precisava estudar outros métodos de interpolação para determinar a equação desses outros gêneros de funções.

E daí surgiu a 1ª grande dúvida: Quais são as fórmulas para interpolar, ou regredir*, pontos no plano xy e descobrir todas as funções de diferentes gêneros que passam por tais pontos?

*Acho que o termo "Regressão" (ou regredir) é usado para aproximações, e, interpolar, para cálculos exatos. Acho...

por **MarceloFantini** » Sáb Set 22, 2012 01:17

O que eu sei é que polinômios de Lagrange é o polinômio de menor grau que passa por pontos dados, não significa que seja a melhor regressão que pode ser feita. Sobre a sua dúvida, não sei a resposta. Sei pouquíssimo sobre interpolação.

por **Jhenrique** » Sáb Set 22, 2012 03:43

Então tá, não tem problema.

Continuando a discussão... É possível fazer um paralelo entre uma PA de 1ª e de 2ª ordem com uma função afim e quadrática (como vc mesmo viu no vídeo, através dum coincidente mapeamento de pontos de valores inteiros). Portanto, eu gostaria de saber como encontrar, através dum sistema de equação, a equação da reta e da parábola de forma que os seus valores estejam de acordo com o da PA de 1ª e com o da de 2ª ordem que eu postei no início do tópico, respectivamente. Ou seja, é mesmo que o profº Wagner faz no vídeo, mas eu não entendi como ele arma os sistemas de equações. :S

por **MarceloFantini** » Sáb Set 22, 2012 04:39

Note numa P.A. que o termo geral é a_n = a_1 + (n-1)r

. Agora façamos a distributiva:

a_n = a_1 +rn -r = (r)n + (a_1 -r)

.

Note que aqui temos que a_n

é uma função de

, enquanto que

é um coeficiente angular e a_1 -r

é um coeficiente linear. Então a reta que coincide nos inteiros com a P.A. tem coeficiente angular

e coeficiente linear a_1 -r

.

Se tivermos uma P.A. com razão $\frac{1}{2}$ e termo inicial

, então teremos uma reta passando por y=3

, crescente e que cada variação de

será metade da variação

.

por **Jhenrique** » Sáb Set 22, 2012 17:33

Vou te poupar de maiores explicações porque eu já entendi como relacionar uma PA de 1ª e de 2ª ordem com uma função afim e quadrática, respectivamente, restringidas nos inteiros (e aliás, essa relação facilitou MUITO meu entendimento!).

Mas, infelizmente, minhas dúvidas ainda não se esgotaram... Quais são as funções que restringidas aos inteiros, identificam-se com uma PG de 1ª e de 2ª ordem?

PS: Esta manipulação abaixo que o Wagner faz é um escalonamento?

por **MarceloFantini** » Sáb Set 22, 2012 18:15

Você quer dizer P.A. ou P.G.? Bom qualquer função que coincida nos pontos vale. Defina $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por

$f(x) = \begin{cases} a_x, & x \in \mathbb{N}, \\ \cos x, & x \notin \mathbb{N}. \end{cases}$

Então

coincide com a sequência mas vale qualquer outra coisa nos outros pontos.

Sim, a manipulação que o Wagner fez é escalonamento.

por **Jhenrique** » Sáb Set 22, 2012 18:49

MarceloFantini escreveu:Você quer dizer P.A. ou P.G.?

Desta vez, P.G. Por enquanto, não me restam mais dúvidas sobre P.A.

Estou perguntando isso porque, como eu já havia comentado, não consegui relacionar nem uma função polinomial, nem uma exponencial e nem uma de potência (restringidas nos inteiros) com os pares ordenados (n, f(n))

duma P.G. :S

por **MarceloFantini** » Sáb Set 22, 2012 19:07

Eu dei um exemplo de função que pode passar por uma P.G., mas ela provavelmente é descontínua. é descontínua. No caso da P.A. você pode encontrar funções "naturais" que associem, não sei no caso de uma P.G., mas uma exponencial parece um bom chute. Como você tentou relacionar neste caso?

por **Jhenrique** » Dom Set 23, 2012 16:55

Sim! Eu havia tentando, mas eu me equivoquei. Realmente a exponencial se encaixa com exatidão! :y:

Sabe, geralmente se faz ilustrações com "escadas" no plano xy para interpretar geometricamente uma P.A. de 1ª ordem. Mas para a P.A. de 2ª ordem, geralmente é dada uma interpretação algébrica. Sabe como posso interpretá-la geometricamente fazendo uma analogia com a de 1ª ?

por **MarceloFantini** » Dom Set 23, 2012 17:05

Você pode interpretar como uma parábola cujos valores nos inteiros coincidem. Assista o vídeo novamente e veja a equação em que ele chega.

por **Jhenrique** » Seg Set 24, 2012 07:05

Era isso aqui que eu estava tentando entender...

E a taxa de variação média da função F quando o x tende para 1 é dada pela equação:

$\Delta y=F(x_1)-F(x_0)=\frac{1}{2}ax(x_{1}^{2}-x_{0}^{2})+b\Delta x$

Agora que eu realmente estou começando a entender e a deduzir as relações entre funções derivadas e primitivas! :y:

Só me restaram as dúvidas sobre interpolações e regressões...

Marcelo, uma função com o x sendo ao mesmo tempo expoente e base, como esta $f(x)=e^{a x^2}$ , por ex., é uma função exponencial ou de potencia?

por **MarceloFantini** » Seg Set 24, 2012 14:54

Esta não é uma função onde a variável é ao mesmo tempo expoente e base, e sim onde é apenas expoente. Uma função exponencial é onde a base é fixa, enquanto que uma função de potência é quando a base é variável.

por **Jhenrique** » Seg Set 24, 2012 21:46

Humm... entendi!

Mas e quanto a funções polinomiais exponenciais, como esta $f(x)=3^{ax}+2^{bx}$ ,por exemplo, elas não são exploradas e estudadas?
Ou esta também...
$f(x)=3^{ax^3}+2^{bx^2}$

E então polinômios exponenciais e de base juntos...
$f(x)=e^{ax^2}+2^{bx}+cx^2+dx+e$

Também não são estudados?

por **MarceloFantini** » Seg Set 24, 2012 23:02

Tal coisa não existe. Um polinômio é algo da forma $f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$ , enquanto que uma exponencial é g(x) = a^x

, com

e $a \neq 1$ .

por **Jhenrique** » Ter Set 25, 2012 14:27

Marcelo, você sabe se existe alguma razão matematicamente lógica para o GeoGebra não plotar a função f(x)=(-e)^x

mas o wolframalpha sim e detalhe, este plota tal função tanto no Plano Real quanto no Imaginário!

por **MarceloFantini** » Ter Set 25, 2012 19:06

Funções com base negativa são muito difíceis de se lidar, e você escolheu uma base bem especial: a exponencial. Além disso, você não soube interpretar o que ele fez: ele não plotou no plano real e plano imaginário, mas sim plotou as partes real e imaginária da função.

Note que

$(-e)^x = (-1)^x \cdot e^x = (e^{i \pi})^x \cdot e^x = e^x \cos (\pi x) + i e^x \sin (\pi x)$ .

por **Jhenrique** » Ter Set 25, 2012 22:15

Pois bem, eu sei fazer a plotagem com base no eixo Real e Imaginário
[tex]a+bi\;(sendo:\;a=parte real\;e\;bi=parte imaginária)[/tex]

Mas o que vc disse e o que este gráfico está tentando me dizer, eu não entendi.
[attachment=0]imagem.PNG[/attachment]

por **MarceloFantini** » Ter Set 25, 2012 22:25

Você conhece a função exponencial complexa $e^{ix}$ ? Ela responde tudo. Ela é um número complexo da forma $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ . Logo, quando você plota a parte real e parte imaginárias separadamente você tem um cosseno e seno, respectivamente. No caso de (-e)^x

você tem uma exponencial multiplicando, o que altera a amplitude do gráfico em cada ponto.

por **Jhenrique** » Qua Set 26, 2012 01:17

MarceloFantini escreveu:Você conhece a função exponencial complexa $e^{ix}$ ? Ela responde tudo. Ela é um número complexo da forma $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ . Logo, quando você plota a parte real e parte imaginárias separadamente você tem um cosseno e seno, respectivamente. No caso de você tem uma exponencial multiplicando, o que altera a amplitude do gráfico em cada ponto.

Eu já a conhecia mas não fazia ideia de que ela possuia essa notável propriedade!

Peraí, vamos por partes, eu ainda desejo perguntar outras coisas que irão me ajudar a formar uma conexão entre funções, interpolações e sequências mas ainda persistem dúvidas elementares...

Um número complexo Z=a+bi

tem coordenadas $(a,\;b)$ . Quando define-se que $a\in Re$ e que $b\in Im$ isso ainda não torna as coisas claras para mim, porque surgem mais 5 novas perspectivas numéricas: $a,\;b,\;a+b,\;bi$ e

, que não sei interpretá-las muito bem. Portanto, pergunto: alguns desses 5 termos mantém alguma relação de identidade com

ou com

, sendo que esta relação de identidade pode ser apenas numericamente igual? Ou seja, gostaria de saber se há alguma relação biunívoca entre qualquer um dos 5 valores que eu citei com x ou com y.

por **MarceloFantini** » Qua Set 26, 2012 07:19

Um número complexo tem coordenadas $(a,\;b)$ . Quando define-se que $a\in Re$ e que $b\in Im$ isso ainda não torna as coisas claras para mim, porque surgem mais 5 novas perspectivas numéricas: $a,\;b,\;a+b,\;bi$ e , que não sei interpretá-las muito bem. Portanto, pergunto: alguns desses 5 termos mantém alguma relação de identidade com ou com , sendo que esta relação de identidade pode ser apenas numericamente igual? Ou seja, gostaria de saber se há alguma relação biunívoca entre qualquer um dos 5 valores que eu citei com x ou com y.

Não entendo o que você quer dizer com isso, mas você está confundindo conceitos. Quando dizemos que z = a+bi